u(t. т) =

где Sj, Sp - корни характеристического уравнения

а-s/ = 0

через \А\ обозначаем определитель матрицы А), а элементы матрицы а определяются системами линейных алгебраических уравнений

{a-si,l)laik..-ccpkr0 {kl.....р) *).

*) Этой формулой и (t, т) определяется в случае различных корней характеристического уравнения si, .... Sp. Формулы для u{t,t) в случае кратных корней читатель может найти, например, в [13].

= u(t, T)Uo = u(t, t)u(t, о). что и доказывает (23). На основании (23)

U(t, to)u(x, toY-uit, %)

и формула для z{t) принимает вид

z{t) = u{t, Q z,-\u (/, т) [a, (т) x{x)-a, (т)] dx. (24)

Наконец, подставив это выражение во второе уравнение (21), находим

y{t)b{t)u{t, U)z,Jr\b{t)u{t, T)a,{x)x{x)dx +

b{t)\u{t, x)a,{x)dx + b,{t). (25)

Отсюда видно, что рассматриваемая система представляет собой линейную систему с аддитивным дополнительным выходным сигналом

г/о (О = b{t)u{t, t,) z, + b{t)\u{t, х) а„ (т) dx-b, (t),

и с весовой функцией

g{t, x) = b{t)uit, x)a,ix)lit-x), (26)

где 1 (s) - единичная ступенчатая функция, равная 1 при s>0 и О при S < 0. Формула (26) показывает, что весовая функция линейной дифференциальной системы легко находится, если известна фундаментальная матрица решений соответствующего однородного уравнения (22). М

Пример 17. В случае стационарной линейной системы все коэффициенты уравнений (21) и (22) постоянны и матрица фундаментальных решений и {t, т) определяется известной формулой

Формула (26) в этом случаедает

g(t, T:) = w(t - T) = b

a-i 1 (t - T)

при t > T.

1.3.3. Определение весовой функции методом сопряженных систем. Уравнение (22) при начальном условии и = 1 при t - x определяет фундаментальную матрицу решений и {t, х) как функцию / при фиксированном т. Однако формула (25) показывает, что для вычисления выходного сигнала системы в момент t необходимо найти и {t, х) как функцию т при фиксированном t. Для решения этой задачи обычно применяется метод сопряженных систем.

► Положив u = u{t, to),

[vv{t, t,) = u{t, Q-\ (27)

будем иметь при любых и / >

ыи = /.

Дифференцируя эту формулу, получим

ыи + tivt = О, откуда на основании (22) и (27) находим

uv} - - auv - - а или i} = -ы-а. Отсюда в силу (27) вытекает дифференциальное уравнение для ы

-va. (28)

Теперь заметим, что согласно (23) и (27)

и {t, x) = u(t, U)v{x, t,)\

Дифференцируя эту формулу по т и принимая во внимание, что согласно (28)

х(т:. to)==-v{x, to)a{x),

находим

{t, x) = u{t, to)v{x,to)=-u{t,to)v{x,to)a{x)=-u{t,x)a{x).

Таким образом, и {t, х) как функция т при фиксированном t определяется при т < / уравнением

u{t, %)-u{t, х)а{х) (29)

с начальным условием u{t, t)==I.

Транспонируя уравнение (29), получим

Ux{i, c)- = -a{x)-u{t, х)\ (30)

*) Случай т > п приводится к случаю т < п (п. 1.3.5).

Это уравнение является сопряженным с (20) ([56], § 85). Поэтому u{t, хУ как функция т при фиксированном t определяется при X < t уравнением (30), сопряженным с (22), при конечном условии u{t, ty = I. Это позволяет находить и(, т) интегрированием сопряженного уравнения (30) в обратном времени при начальном условии u{t, t) = I.

Более подробно метод сопряженных систем изложен в [57] (§ 4.3-4.5) и в [56] (§ 83-85).

1.3.4. Приведение уравнений линейной системы к форме Коши. Простейшие линейные системы (звенья), входящие в состав сложных систем, обычно бывают одномерными, т. е. имеют скалярные входной и выходной сигналы. При этом, если дифференциальное уравнение всей системы выше первого порядка, то оно часто содержит не только производные выходного сигнала, но и производные входного сигнала. Поэтому важно уметь приводить уравнения линейных систем к системам уравнений первого порядка, не содержащим производных входного сигнала. Сейчас мы покажем, как это делается.

Рассмотрим физически возможную систему, поведение которой описывается линейным дифференциальным уравнением

2a,f/<«=2M<". (31)

где коэффициенты а, а„, Ь, Ь, . .ъ общем случае зависят от времени t, а тп*). Очевидно, что достаточно рассмотреть случай т=п. Случай тКп получится как частный случай при fo„= ... =6+1 = 0. ► Введем новые переменные

2i = i/-0o, 2 + 1 = 2 -(fe=l, n-1), (32)

где (7o. Яи ••> (/г,-! -некоторые функции t, которые мы определим из условия, чтобы полученные уравнения первого порядка не содержали производных входного сигнала х. Из (32), пользуясь известной формулой для производных произведения двух функций,

р = 0

находим

y = Zx + qoX, (33)

у = 2,.,1 + 2 (qs-rXYs-. + 22

г=0 г=Ор=0

(s = l.....п-1). (34)