и заменив неизвестную плотность /i (z; /) аппроксимирующей ее функцией fl{z;Q), получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений для моментов:

(г,, ГрО, 1, ...,Л; г = 1, Л). < (32)

Интегрируя систему уравнений (32) при начальных условиях

«г (о) = < (Гг, ...,Гр = 0,1, ...,\;\г\ = 1, N),

найдем все координаты вектора 9 как функции времени / (ос? - моменты начального значения вектора Z (t) при t = tf,).

Само собой разумеется, что при г=1 и \r\~2 уравнения (32) для моментов первого и второго порядков совпадают с уравнениями, полученными из (8) и (12) путем замены плотности /i(z; /) в выражениях математических ожиданий аппроксимирующей ее функцией /i(z; 9).

Уравнения (32) можно также вывести, дифференцируя случайную функцию Z[(О-•--р(О прав]!Л}- дифференцирования сложной функции случайноо процесса Z{t) с учетом характера процесса W {t) (пп. 3.5.2-3.5.4), взяв математические ожидания обеих частей полученного равенства и вычислив математическое ожидание в правой части для аппроксимирующей неизвестную плотность /i (г; /) функции fl (z; 9). Этот способ во многих задачах практики оказывается простейшим способом вывода уравнений (32).

В случае непрерывно-дискретной системы, вектор состояния (расширенный) которой Z = [Z. . .2,] состоит из двух блоков: Z = [Zi.. .ZAy (непрерывная часть) и Z"= [Z„, i. . .ZpY (дискретная часть), и определяется уравнениями

Z = a (Z, /) + b (Z, t) V, ZU, = ft), (Z„ y,),

z = [z-z"-] z"= 2 zi.(;. (7a)

где г = [г1...ГрУ - векторный индекс, а \ г\ = г-у .. . -\- Гр. Из этой формулы следует, что

• г dgi р.: гГ

"~[д(иу...д(арур dt /=с

Подставив сюда выражение dgCk; t)/dt из уравнения (5.44),

dgi (x; /)

- процесс, совпадающий с Z(t) в точках (й = О, 1, 2, . . .; ""•.....................,....1

х<Г,---<°/ЛИг;в)Л, (32а)

- X - X

I X Tift {v) fl (1; e (?<*+!> -0)) dvdz Уи r-„ = 0, 1. ...,Л; = • Л;

fe = 0, 1, 2, ...), (326)

ni"y = [%у..ipy, К..ку,

Я" = [Ялц. . -ХрУ, к" = [Я,+1. . .кр+пУ, T=[zz"2"y = [z,...Zp„y,

а (у) представляет собой плотность случайной величины 1 , [104, 107].

Уравнения (32а) и (326) с начальными условиями

аЛд=сл„.....,.,(д=<,. ......„ + г,,„1.„,,......р

(/"i, , Гря = 0, 1, .. ., Л; I г = Г1+ .. . +Гр+я = 1, . •, Л),

вытекающими из (5.39а) п. 5.3.1 приближенно определяют моменты ( = 1, Щ, как функции времени / в случае непрерывно-дискретной системы.

В частном случае при Л = 2 и нормальной /(z; 9) уравнения (32а) и (326) представляют собой уравнения метода нормальной аппроксимации для непрерывно-дискретных систем.

В качестве аппроксимирующей плотность /i(z; /) функции /i(z;9) удобно взять конечный отрезок ее ортогонального разложения вида (2.41):

U{r, t)wn{z; 9) = Ш1(2)

1+2 2 CvPv(z)

k=b\V\=k

(33)

где = (/г = 0, 1, 2,...), выводим из (5.38а) и (5.386)

п. 5.3.1 уравнения для моментов одномерного распределения

случайного процесса Z{t) = [Z{t)Z" {ty Z" {tV]\ где

z"{t)=iz;,iAAt)

36,S ГЛ 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

Коэффициенты Cv здесь представляют собой в соответствии с (2.38) линейные комбинации моментов случайного вектора Z{t) до порядка Л включительно:

c,. = <7v(a) (Vi, . . ., v, = 0, ], Л; Ivjv- ...v, - S, ...,Л)

(34)

(напомним, что i) представляет собой результат замены всех одночленов ... ZpP s выражении полинома (/ (z) соответствующими моментами а.....гр). Коэффициенты полиномов py,,{z) и f/v(z)

в общем случае зависят от моментов первого п второго порядков вектора Z(/), поскольку плотность Wi{z) в (33) имеет те же моменты первого и второго порядков, что и }\{г; t).

Подставив выражение (33) в (32) и приняв во внимание (34), получим следующую систему уравнений для моментов:

4=3 lvl = * (ЗО)

{Ги Гр = 0, 1, Л; v! = l, ... , yV),

Чо,.= \ [---\il-a{z,t)+i{b{zJYk:t)-\e] wAz)dz,

(36)

„ = г 1--[aa{z,t) + y{b(z,tyk;t)Y- х

jdiihY...diikpVp \,)-л-ккк,! ,п 1

xpAz)w,(z)dz. (37)

Уравнения (35), очевидно, линейны относительно мо.ментов выше второго порядка, г = 3, Л, и нелинейны относительно -юментов первого и второго порядков, поскольку плотность u»j (х) и коэффициенты полиномов pv{z) и qy(z) зависят от моментов первого и второго порядков, вследствие чего и коэффициенты 40. г Ф\-, г уравнений (35) зависят от моментов первого и второго порядков.

При составлении уравнений (35) в конкретных задачах полезно иметь в виду, что число Л моментов г-го порядка -.мерного случайного вектора определяется формулой

(g + r-l)! r!{q-lV.

7VJ = C,, i =

а полное число моментов порядков, ие превосходящих Л, (/-мерного случайного вектора равно