x{i)= \ с (/со) е«dco,

- 00

Тогда на основании принципа суперпозиции установившийся выходной сигнал у (при бесконечно долгом действии входного сигнала х) определится формулой

г/(/)= Ф(1Со)с(ко)е<«йо).

- со

в частности, представив б-функцию б(/ - т) интегралом Фурье {ТВ, приложение 1),

- со

выразим реакцию системы на входной сигнал 76 (/--т), т. е. ее весовую функцию, через частотную характеристику

g{t, т)=ш(/-т) = j Ф(1(о)е»(-)

- СО

ш(и)=2 j" Ф(г«)е""<-

- 00

Так как любой ограниченный непрерывный входной сигнал, действующий на конечном интервале времени (а только такие сигналы приходится рассматривать в задачах практики), можно представить интегралом Фурье, то с помощью частотных харак-

*) Метод частотных характеристик по-прежнему широко применяется для экспериментального определения динамических характеристик различных физических систем.

стем ([57], гл. 2 и 4). Лишь благодаря широкому распространению вычислительной техники метод частотных характеристик как расчетный метод для синтеза стационарных линейных систем отошел сейчас на второй план, уступив место современным вычислительным методам *).

С помош,ью частотной характеристики устойчивой системы легко вычисляется ее установившаяся реакция на любой входной сигнал, который можно разложить на элементарные гармонические колебания (т. е. представить рядом или интегралом Фурье).

Предположим, что входной сигнал х устойчивой стационарной линейной системы может быть представлен интегралом Фурье

теристик можно вычислять установившиеся выходные сигналы устойчивых стационарных линейных систем практически при любых входных сигналах.

Метод частотных характеристик включает также частотные критерии устойчивости стационарных линейных систем ([57], § 6.3).

§ 1.3. Линейные дифференциальные системы

1.3.1. Уравнения линейной системы. В случае линейной системы уравнения (15), естественно, линейны и, следовательно, имеют вид

z = azaiX+aa, y = bz-b, (21)

где а - квадратная матрица порядка р, -охл-матрица, - вектор размерности р, ft-/лхо-матрица, -вектор размерности т. В общем случае а, а, а, b п bo могут зависеть от времени t. В частном случае стационарной линейной системы а, а, а, b и Ьа постоянны.

В некоторых случаях вектор состояния можно исключить из уравнений системы (21). В этом случае получится линейное дифференциальное уравнение выше первого порядка, связывающее выходной сигнал у со входным сигналом х. При этом поведение системы можно изучать, не интересуясь ее состоянием. Так раньше часто и поступали ([57], § 4.4, 4.5). Однако для исследования систем с помощью ЭВМ всегда удобно представлять описывающие их дифференциальные уравнения в форме Коши. Для этого приходится приводить эти уравнения к системе уравнений первого порядка путем ввода дополнительных переменных. Эти дополнительные переменные обычно и принимаются за переменные состояния системы.

Пример 16. Уравнения движения самолета в примере 10 будут линейными, если сделать допущение, что углы атаки и скольжения достаточна малы для того, чтобы можно было считать все аэродинамические коэффициенты не зависящими от этих углов, что рули не доходят до упоров и что рулевые машины мгновенно отслеживают требуемые отклонения рулей. При больших углах атаки и скольжения аэродинамические коэффициенты самолета зависят от этих углов, что приводит к нелинейности уравнений движения. Другим источником нелинейности является ограничение отклонений рулей. Наконец, учет динамики рулевых машин всегда приводит к нелинейности уравнений движения из-за существенной нелинейности характеристики рулевой машины гз(б* -б, б).

1.3.2. Весовая функция. Для нахождения весовой функции линейной системы, описываемой дифференциальными уравнениями, проинтегрируем уравнения (21).

Пусть u{t, о) -решение однородного уравнения

й = аи (22)

*) Из теории дифференциальных уравнений известно, что определитель матрицы u{t, to) выражается формулой

А = 1«( о)1 = ехр {tTa{x)dx] . (*)

где tra(T) -след матрицы а(т). Для вывода этой формулы достаточно заметить, что согласно правилу дифференцирования определителя и свойствам определителей A = Atra(). Решение этого уравнения при начальном

условии Д(о) = "(0 о)1 = определяется формулой (н). Из этой формулы следует, что (так как показательная функция нигде в нуль не обращается) Д # О (само собой разумеется, что интеграл в {*\ предполагается конечным при всех t, to).

при начальном условии и {to, to) = I, т. е. фундаментальная матрица решений уравнения (22). Заменой переменных z = = u{t, to)v первое уравнение (21) приводится к виду

UV -г ии = am + ах а

или, в силу (22),

Отсюда, имея в виду, что матрица и всегда обратима *), получаем

y = «~i(aiX-f Go).

Интегрируя это уравнение при начальном условии v{to) - = u{t„, to)~z{to)-=Zo, находим

D (О = 2„ + 5 а (т, to)- [а, (т) X (т) + а„ (т)] dx

2(0 = а(/, to)v{t) =

= u{t, to)Zo + u{t, to)\u{x, to)--[ai{x)x{x) + ao{r)]dx.

Заметим теперь, что при любых to, х, t, tott,

u{t, to) = u{t, x)u{x, to). (23)

Действительно, и {t, to) no определению представляет собой решение уравнения (22) при начальном условии и {to, to) = I. Значение этого решения при t = x равно и{х, tg). Следовательно, u{t, to) можно рассматривать как решение того же уравнения (22) при начальном условии u = Uo = m(t, о) при t = x. С другой стороны, решение уравнения (22), равное Uo при t = x, определяется формулой u-=u{t, т) Uq. Таким образом, в силу единственности решения уравнения (22) при данном начальном условии u{t, to) =