330 I.l л ТЕОРИЯ CrO.X АСТИЧРСКИХ ДИФФЕРЬ ПИИЛЛЬНЫЛ СИСТЕМ

5.21. Найти формулы для одномерной плотности стационарного в узком смысле процесса в системе задачи 5.20 при

а) a(Z)== -asgnZ, b (Z) = [ [\00]:

б) a{Z) = - aZ"-, 6(Z)= 1;

в) a(Z)= - aiZ,-a2Z-i, 6 (Z) = 1 [121].

5.22. Показать, что одномерная плотность стационарного в yзкof смысле процесса в системе

d,. 2

-f-= - aZ-"--bZ--V, 2 - О, !,

выражается формулой Накагами [122] через х-распределение.

5.23. Проверить, что для нелинейной системы второго порядка

2 + 282 + ф;(2) = У (8,=0),

где V - стационарный нормально распределенный белый шум интенсивности V, ф(г) - нелинейная функция, одномерная плотность и характеристическая функция стационарного в узком смысле процесса определяются формулами

Л (г, 2) = сехр{-/г2[ф(2) + 22/2]} (h2 = 2e;v),

- 00

где с - нормирующая постоянная. Рассмотреть частные случаи: а) ф(г) = = aiZ-уаяг; б) ф(2) = asgп2; в) ф(г) = а sin 2.

5.24. Показать, что одномерная плотность стационарного в узком смысле процесса в нелинейной систе\[е

2 = ф(2)~28а2 + 6У, в0,

где 2==[2, ...2„] ф{2) = 14;1(2) ... „(2)[\ д{г)/дг„ = 0 (-=1.....п).

гф(2)= г.> (г) = 0, VIV ... V ,„Y - нормально распределенный ста-к=\

ционарный белый шум с независимыми компонентами одной и той же интенсивности V, Ь-постоянная лхт-матрица, а - постоянная л,\;7-матрица, удовлетворяющая условию а-)-а = 266, определяется формулой

fi (2) Vai л" с~ " , a = 48/v.

Для случая единичных матриц а и b эта формула получена в [84].

5.25. Показать, что одномерная плотность стационарного в узком смысле првцесса в системе

2 = аф(2)-:-61/,

где ф (2) - нелинейная функция, b - постоянная прямоугольная (в общем случае) матрица, а - постоянная матрица, удовлетворяющая условию а+с--=-266, а V - стационарный нормально распределенный белый шум с независимыми компонентами одной и той же интенсивности v, определяется формулой

(само собой разумеется, функция ехр {2ф (z)/v} должна быть интегрируемой).

Указание. Написать уравнение (.38) при dgijdt = 0 и применить интегрирование по частям к одному из двух интегралов так же, как в при-

- 00

Первый интеграл обраштся в нуль, если принять /] (г) =с е.хр {2 (2), v}. Интегрирование по частям показывает, что при этом н второе слагаемое будет равно пулю в силу равенства Va}.~}.ak.

5.26. Показать, что цырмула (V111) примера 16 прн любой зависимости функции Я ((/. р) от q и р определяет одномерное распределение ciTUifoHap-ного в узком cMbic.ie процесса в системе

. дН дН дИ

а----, п =----2га (q)----b(q)\,

dp dq dp

где в дополнение к обозначениям при.мера IG Ь (q) - произвольная прялю" угольная матрица, а a[q) - произвольная матрица, удовлетворлющат условию а (q) ~\-а {qY = 2Ь (q) Ь {qY.

Показать, что в случае зависящего от энергии коэффициента тоеннд f, е-=е(Я), вместо (VlII) получается более общая формула

Для случая единичных матриц а и Ь ц Н Арp/2-\-U (q) прн постоянной скалярной величине А эта формула была получена в [89].

В качестве частного случая рассмотреть уравнение Ван-дер-Поля с нормально распределенным стационарным белым шумом

q-rb {q- - 1) (7 0)2? = ] (/- - 1 /,

где b и (В-постояи1!Ь[е.

5.27. Показать, что одномерное распределение сгацпонарного в узком смысте процесса Z(0 - [2i(/) 2 (/)] в нелинейной стохастической системе

Z, =-asgn(Z2 -pZi), 2.,-- -Zn 1-,

где 1 -стационарный нормально распределенный белый шум ингенсивно-стн V, определяется формулой Фуллзра [79].

А (Z,, 22) = с ехр {-{zl-\-2rx\z2-Pzy )/v},

где с - нормирующая константа. Найти соответствующую характеристическую функцию.

5.28. Показать, что в условиях задачи 5,2 при известной функции /. (,1т; О одномерная характеристическая функция процесса Z (/) = [Zi (/) Z» (/)) определяется формулой

V; t)=goil, 1")ехр ia,t (X"ki/2)-: ;/((/ х) Г + Г; т) Л ;. ,

5.29. Показать, что в ус.ювиях задачи 5.3 для стационарного белого шума с .тюбой функцией / {и) одномерное стационарное ргспределеине процесса Z2 (/) определяется характеристической функцией

..(O-explflMnL

Рассмотреть случай х (ц) = - liv/2.

.мере 16. В результате получим уравнение

338 TJ ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

5.30. В условиях задачи 5.8 написать формулу для одномерной характеристической функции стационарного в узком смысле процесса Zt{t) при произвольной функции Рассмотреть также случай / (ц) = -vn/2.

5.31. Трехмерное брауново движение частицы под действием случайной возмущающей силы, представляю1цей собой стационарный белый шум, описывается векторным уравнением Ланжевена

i;-f 2eZ = V,

где Z - вектор состояния частицы, V - стационарный белый шум с известной функцией 7 (и). Показать, что одномерная характеристическая функция вектора скорости U = Z частицы в стационарном режиме определяется фор\1\ лен

gi (Г) = ехр { \ 7. (e-etV) dr \ {%" = [Л>уЛ,;]). \.о )

5.32. Пользуясь формулой (53), показать, что в случае общего пуассо-новског(1 процесса IF (/) и единичной матрицы 6 (г, /) уравнение (48) приводится к виду

£[й(2, n/i(2; 0] + v(/)[(/./i)(2; о-/1(2; /)], (I)

где (/ jl -композиция плотности f (2) величины скачка пуассоновского процесса и плотности /, (2; t) (ТВ, пример 5.30):

(f /i)(2; О- 5 f(z-Z)h(l: t)dl

Написать аналогичное уравнение для /„ (2i, 2,,; /j, .. , /„). Получить из (I) Соответствующее уравнение для случая, когда W yt) представляет собой произведение постоянной h на простой пуассоновский процесс.

5.33. Показать, что в случае, когда функция -/ определяется формулой .54), уравнение (48) приводится к виду

[а(2, /)А(г:/)] +

ut dz

)o{t)b(z, tYh(z\ /)] +

\ фИ2-£: £, о MS; i)dl-\i(z; t)

где ф;4(ы; г, /) - плотность, соответствующая характеристической функции gft(ej6(2, tyi), т. е. плотность случайного вектора, представляющего собой произведение матрицы b(z, t)cji на случайный вектор - скачок общего пуассоновского процесса (/).

5.34. Показать, что в случае, когда

Х(ц; 0=-иЧ(х/2+ 5 [e<*-l-фV()]>(, х) dx