Эти уравнения справедливы при мгновенном отрабатывании отклонения руля в диапазоне его возможных значений.

Если учесть динамику рулевой машины, то отклонение руля б уже не будет определенной функцией требуемого отклонения руля 6* = 25, а будет определяться уравнением

б = 1;(б* -S, б),

где г)(б* - б, б) -функция б* -б прп 6,nin < б <, £тач. при б = бп,1п, б* -б > О и при 6 = 6,„av, 6* -S<0 и г)(6* -б, 6) = 0 При 6 = 6„in, б* -б < О и При б = бп,ах б*~б > о (рис. 6). Вводя в этом случае дополнительную переменную состояния 26 = 6, получаем уравнения движения самолета с автопилотом в виде

Zl = Z2, 22 = Co-Ca?!-Cl22 -Cs25, 23a(2i -tto), 2j==t23,

25 = {k {T,a + l)/T,) (2i-ao) + {kT,/Tx) z, + (23-Zb)lTx- kT,g/T,v,

гб = -ф(г5 -ге, Zs), 1/1 = 21 + 23, 1/2 = 24.

Предыдущие уравнения выведены в предположении, что самолет представляет собой абсолютно твердое тело. Если приближенно учесть его упругие деформации в полете и движение жидких масс в его баках, то получим более сложные модели движения, описываемые системами дифференциальных уравнений более высоких порядков.

1.2.8. Стационарные системы. Стационарной называется такая система, у которой при любом сдвиге входного сигнала во времени без изменения его формы (т. е. при замене x{t) на x{t - T) при любом Т) выходной сигнал претерпевает тот же сдвиг во времени, тоже не изменяя своей формы (т. е. y{t) заменяется на y{t - T)).

Легко видеть, что система, описываемая дифференциальными уравнениями (15) или (16), стационарна тогда и только тогда, когда правые части этих уравнений, т. е. функции /(г, х, t) и g{z, t), не зависят явно от времени, /(г, х, t) = f{z, х),

1.2.9. Передаточная функция стационарной линейной системы.

Из определения стационарной системы следует, что весовая функция стационарной линейной системы зависит только от разности ее аргументов. Действительно, согласно определению реакция стационарной линейной системы в момент t на единичный импульс, действующий в момент т, совпадает с ее реакцией в момент t - гяа единичный импульс, действующий в нулевой момент, т. е. g{t, т) = g( -т, 0) при всех t, т. Положив g{t - T:, 0) = ~w{t - т), будем иметь g(t, т) = ш( -т).

Основной особенностью физически возможных стационарных линейных систем является то, что любая устойчивая стационарная линейная система усиливает неограниченно долго действующий входной сигнал, представляющий собой показательную функцию е**, без изменения его формы. Действительно, положив в (14) в случае одномерной системы х(т) = е\ g{t, т) = ш( -т), t =

0(s) = i.j.-/--.a=.

= - оо, получаем

t t ж

y(t)= 5 w{t-x)edx = e* w(t-x)e-<.*-:x = ew{a)e-<da.

-00 -co 0

Обозначив коэффициент усиления показательного входа сигнала через

0{s)=\wia)e-"da, (20)

получимy{t) = 0 (s) е-*. Это формула доказывает наше утверждение и показывает, что коэффициент усиления Ф (s) показательной функции зависит от параметра s. Этот коэффициент называется передаточной функцией стационарной линейной системы.

Высказанное утверждение верно и для комплекснсгс параметра S, действительная часть которого больше некоторого отрицательного числа. Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить, что на основании принципа суперпозиции реакция линейной системы на комплексный входной сигнал представляет собой комплексную функцию времени, действительная и мнимая части которой равны реакциям системы на действительную и мнимую части входного сигнала соответственно. Конечно, при отличной от нуля мнимой части параметра s функция Ф(5) имеет комплексное значение. Это означает, что стационарная линейная система сохраняет форму гармонических колебаний с амплитудой, изменяющейся по показательному закону, усиливая их амплитуду и сдвигая фазу. При этом коэффициент усиления амплитуды равен 0(s), а сдвиг фазы равен - argO(s).

Формула (20), выведенная для одномерных систем, определяет передаточную функцию стационарной линейной системы с п входами и т выходами. Чтобы убедиться в этом, достаточно применить формулу (20) по отдельности к любой паре вход-выход и записать полученные пт соотношений в матричной форме. При этом передаточная функция многомерной системы определится как /пх/г-матрица, элементами которой служат передаточные функции от всех входов ко всем выходам, рассматриваемым по отдельности.

Пример 11 Формулы примеров 3 - 5 показывают, что рассмотренные в этих примерах электрические цепи представляют собой стационарные линейные системы В соответствии с этим найденные в примерах 6 - 9 весовые функции этих цепей зависят только от t - т

Пример 12 Чтобы найти передаточную функцию цепи примера 3, подставим найденное в примере 6 выражение ее весовой функции в (20). Выполнив интегрирование, получим

0(s)=J

n+i Ts+r

Пример 14. Подставив выражение весовой функции колебательного контура примера 5, полученное в примере 8, в (20), найдем передаточную функцию контура

Пример 15. Подставив в (20) выражение весовой функции колебательного контура, рассматриваемого как система с двумя выходами, полученное в примере 9, найдем передаточную функцию контура

Ф(5) = [Ф11(5) Ф21{3)]\

1.2.10. Частотная характеристика стационарной линейной системы. Ограничиваясь чисто мнимыми значениями параметра s, s = m, получаем передаточную функцию одномерной системы Ф(ш) как функцию круговой частоты гармонических колебаний e"*, действующих на входе системы. В этом случае Ф(/со) определяет коэффициент усиления амплитуды входных гармонических колебаний \Ф{ш)] и сдвиг фазы argO{m) выходных колебаний по сравнению со входными как функции частоты со. Совершенно так же в случае многомерной системы элементы матрицы Ф(г(о) определяют коэффициенты усиления амплитуд и сдвиги фаз при прохождении гармонических колебаний от каждого входа к каждому выходу системы. Поэтому передаточная функция системы, рассматриваемая как функция чисто мнимого параметра s=m (т. е. суженная на мнимую ось комплексной плоскости), называется частотной характеристикой стационарной линейной системы.

Свойство стационарных линейных систем пропускать гармонические колебания без изменения их формы, только умножая амплитуду на Ф(гй)) и сдвигая фазу на -argO(jcu), дающее возможность исследовать их чисто алгебраическими методами, лежит в основе метода частотных характеристик, который долго служил в качестве наиболее удобного и часто применявшегося метода исследования любых стационарных линейных си-

Строго говоря, эта формула определяет Ф (s) только при Re{s}>- Однако последняя часть этой формулы представляет собой функцию комплексной переменной s, определенную при всех s, с полюсом в точке s =-l/T. Таким образом, последняя часть полученной формулы дает аналитическое продолжение передаточной функции, определяемой формулой (20) только при тех S, при которых интеграл сходится, на всю комплексную плоскость.

Пример 13. Подставив выражение весовой функции цепи примера 4, полученное в примере 7, в (20), найдем передаточную функцию этой цепи