нений модели исследуемой системы в естественной математической форме с показом их на экране дисплея и с возможностью редактирования, хранения этих уравнений, просмотра и удаления; автоматическое составление обыкновенных дифференциальных уравнений для математического ожидания и ковариационной матрицы; решение этих уравнений; графическую визуализацию результатов расчетов в форме таблиц и графиков, как во время вычислительного эксперимента, так и после его завершения; вывод результатов расчетов в файл для получения твердых копий. Следующие версии пакета «СтС-Анализ» реализуют представленные в книге другие, более точные методы нахождения одномерных распределений процессов в стохастических дифференциальных системах, а также методы анализа систем, описываемых другими видами стохастических уравнений. Такое же математическое обеспечени е создается для автоматизации проектирования условно оптимальных фильтров. Все это математическое обеспечение предназначено для специалистов в различных областях, не имеющих ни специальной математической подготовки, ни подготовки в области вычислительной техники и программирования, и ориентировано на использование персональных ЭВМ, совместимых с IBM PC-XT, AT.

Без такого интеллектуализированного математического обеспечения широкое применение математических методов во всех отраслях народного хозяйства невозможно.

Авторы благодарны И. В. Синицыной и В. И. Синицыну за активное участие в подготовке книги ко второму изданию и Н. Т. Ярославцевой за перепечатку всех вставок и дополнений.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

Книга написана на основе курсов лекций, читавшихся В. С. Пугачевым студентам факультета прикладной математики Московского авиационного института им. С. Орджоникидзе и И. Н. Сини-цыным студентам и аспирантам Московского высшего технического училища им. Н. Э. Баумана.

Книга рассчитана на студентов и аспирантов факультетов прикладной математики университетов и высших технических учебных заведений. Она может быть полезной также для инженеров и научных работников в области теории управления, прикладной механики, а также в других областях науки и техники, изучающих системы, поведение которых описывается стохастическими дифференциальными уравнениями (стохастические дифференциальные системы). Книга может быть полезной также и для математиков, специализирующихся в области стохастических дифференциальных уравнений.

Книга ориентирована в первую очередь на прикладников. В ней изложены прикладные методы исследования стохастических дифференциальных систем, в частности методы нахождения конечномерных распределений вектора состояния и выходных сигналов таких систем, а также методы оценивания состояния и параметров дифференциальных систем по результатам наблюдений (теория фильтрации и экстраполяции).

За основу построения теории стохастических дифференциальных систем приняты уравнения для конечномерных характеристических функций процессов, определяемых стохастическими дифференциальными уравнениями, полученные В. С. Пугачевым [55, 62, 63]. При этом изучаются стохастические дифференциальные уравнения общего типа с произвольными процессами с независимыми приращениями. Уравнения с винеровскими процессами рассматриваются как частный случай.

В главе I излагаются основы теории дифференциальных систем. После определения основных понятий рассматриваются различные характеристики линейных дифференциальных систем и связи между ними, даются методы нахождения дифференциальных уравнений стационарных линейных систем по данным передаточным функциям, излагается общий метод приведения уравнения линей-

НОЙ системы к системе уравнений первого порядка в стандартной форме Коши, рассматривается общая форма дифференциальных уравнений нелинейных систем, изучаются особенности стохастических дифференциальных систем, уравнения которых содержат случайные функции.

Глава 2 содержит изложение основных понятий теории случайных функций. Изучаются конечномерные распределения случайных функций, их математические ожидания, ковариационные функции и моменты высших порядков. Особое внимание уделяется совместным приближенным представлениям конечномерных распределений, в частности, представлениям конечномерных плотностей отрезками согласованных разложений по полиномам Эрмита. На основе понятия средней квадратической сходимости изучаются линейные операции анализа над случайными функциями-дифференцирование, интегрирование, интегрирование линейных дифференциальных уравнений, содержащих случайные функции. Дается определение слабой средней квадратической сходимости и слабой средней квадратической дифференцируемости случайной функции. На основе этих понятий дается определение белого шума и его производных.

В первых трех параграфах главы 3 изучаются случайные процессы с некоррелированными приращениями, стохастические меры с некоррелированными значениями, стохастические интегралы от неслучайных функций и линейные стохастические дифференциальные уравнения. Показано, что общая формула для решения линейного дифференциального уравнения определяет также решение стохастического линейного дифференциального уравнения при произвольном процессе с некоррелированными приращениями в этом уравнении. Последние четыре параграфа главы 3 посвящены случайным процессам с независимыми приращениями, стохастическим интегралам от случайных функций, стохастическим дифференциалам и нелинейным стохастическим дифференциальным уравнениям. Кроме интегралов, дифференциалов и дифференциальных уравнений Ито здесь рассматриваются различные другие формы стохастических интегралов, дифференциалов и дифференциальных уравнений. Выводятся формулы дифференцирования сложной функции в случае винеровского, пуассоновского и общего процессов с независимыми приращениями. Для случая стохастического дифференциального уравнения с винеровским процессом дается общая формула приведения любого уравнения к уравнению Ито. Рассмотрены особенности численного интегрирования стохастических дифференциальных уравнений.

В главе 4 изучаются стационарные случайные функции. Рассматриваются различные виды стационарности, изучаются особенности ковариационных функций стационарных случайных функций, случайные функции, приводимые к стационарным, излагается