Дифференциальные системы

Во втором издании книга подверглась существенной переработке. В нее внесены дополнения в соответствии с развитием излагаемой теории за годы, прошедшие с момента выхода в свет первого издания. В частности, включены все дополнения, вошедшие в английское издание книги, содержащие методы, необходимые для исследования систем, управляемых с помощью ЭВМ. *) Математические модели таких систем включают как стохастические дифференциальные уравнения, так и разностные уравнения. Распространение излагаемой в книге теории на такие непрерывно-дискретные системы дано в соответствующих разделах глав I, 5, 6, 9. В частности, в главу 9 включен новый параграф (§ 9.5), посвященный новому перспективному направлению в теории фильтрации - условно оптимальной дискретной фильтрации и экстраполяции процессов в стохастических дифференциальных системах. Кроме теории стохастических непрерывно-дискретных систем, добавлены Boojeflmne в английское издание книги новые п. 6.6.7 и п. 8.2.6, содержащие методы сокращения числа уравнений для параметров распределений процессов в многомерных нелинейных стохастических дифференциальных системах.

В последние годы методы исследования стохастических дифференциальных систем были распространены на широкий класс систем, описываемых стохастическими интегро-дифференциаль-ными уравнениями. Таким системам, которые авторы называли системами, приводимыми к дифференциальным системам, и методам их приведения к дифференциальным системам, посвящены новые параграфы (§ 1.5 и § 5.5).

Важную роль в современной теории стохастических систем играют системы со случайно изменяющейся структурой. Излагаемые в книге методы легко распространяются на такие системы. В связи с этим в книгу добавлены новые пп. 1.4.3 и 5.3.10, посвященные применению уравнений для конечномерных распре-

*) Pugachev V. S., Sinitsyn I. N. Stochastic Differential Systems. Analysis and Filtering.-Chichester: John Wiley & Sons, 1987.

делений вектора состояния к стохастическим дифференциальным системам со случайно изменяющейся структурой.

В связи с необходимостью широкого распространения методов теории стохастических систем и их применения во всех отраслях народного хозяйства большое значение приобретает проблема сокращения числа уравнений для параметров распределения вектора состояния системы и разработка соответствующих приближенных методов для исследования многомерных стохастических дифференциальных систем. Наиболее радикальное сокращение числа уравнений для параметров одномерного распределения дает разработанный в последнее время метод эллипсоидальной аппроксимации распределения. Этот метод изложен в новых § 6.7, п. 8.2.7 и приложении 2, написанных В. И. Синицыным по материалам его работ [116].

В соответствии с включением нового приложения 2 нумерация приложений в книге изменилась по сравнению с первым изданием: приложения 2-5 в первом издании получили номера 3-,3 во втором издании.

Все опечатки и неточности, замеченные в первом издании и в английском издании, исправлены.

Современная теория стохастических систем располагает мощными методами для исследования процессов в стохастических системах, в частности методами исследования стохастических дифференциальных систем, изложенными в книге. Однако эти методы находят пока лишь ограниченное применение, так как они сложны и требуют очень громоздких вычислений, особенно в случае систем высокой размерности. А главное - составление необходимого для применения этих методов бoльuJoгo количества уравнений для вероятностных характеристик представляет собой сложную задачу, требующую больших затрат времени квалифицированного научного сотрудника. Впрочем, вопросы ограниченности практических применений относятся не только к теории стохастических систем, но и вообще ко всей математике. Современный прогресс в области вычислительной техники и информатики делает математические методы потенциально применимыми буквально во всех областях человеческой деятельности. Однако для практического применения математических методов необходимы глубокие знания в области математики, в частности для практического применения методов теории стохастических систем необходима достаточно хорошая подготовка в этой области. Такая подготовка, естественно, отсутствует у огромного большинства специалистов в различных областях науки и отраслях народного хозяйства, не связанных в своей практической деятельности с математикой. Предполагать, что какая-то часть этих специалистов может выучить соответствующие разделы математики (конечно отложив на время свою обычную работу), нельзя. Это совершенно невозможно.

Таким образом, единственный способ обеспечить широкое применение математических методов и, в частности, методов теории стохастических систем во всех областях науки и отраслях народного хозяйства-создание такого интеллектуализированного программного обеспечения для ЭВМ массового применения (в первую очередь для персональных ЭВМ), которое позволит специалистам в различных областях, не имеюш,им специальной математической подготовки и подготовки в области программирования, пользоваться математическими методами для решения задач, возни-каюш,их в их практической деятельности. Только создание такого программного обеспечения позволит широко внедрить математические методы, в частности методы теории стохастических систем в практику.

Работы по созданию такого интеллектуализированного программного обеспечения уже ведутся. Первые шаги в этом направлении были ориентированы на автоматизацию наиболее трудоемкой части исследования стохастических дифференциальных систем - вывод уравнений для параметров распределения из исходных стохастических уравнений.

После первых программ на языке Фортран-4, ориентированных на автоматизацию составления и решения уравнений для параметров распределений для систем невысокой размерности с полиномиальными нелинейностями [22], в Институте проблем информатики (ИПИ) АН СССР были разработаны программы, реали-зуюш,ие метод нормальной аппроксимации для нелинейных систем практически любой размерности [109, ПО]. Применение этих программ освобождает исследователей, владеющих основами программирования, от очень трудоемкой работы по составлению уравнений для параметров распределений.

В последнее время в ИПИ АН СССР создан диалоговый интегрированный пакет прикладных программ «СтС-Анализ», предназначенный для решения методами теории стохастических систем разнообразных задач, для которых известна математическая модель в форме стохастических дифференциальных уравнений, а также для обучения в системе высшего образования по ряду разделов в курсах «Теория вероятностей и случайные процессы», «Теория управления», «Автоматизация научных исследований», «Стохастические системы» (лабораторные и курсовые работы) [106]. Версия 1.1 пакета «СтС-Анализ» реализует метод нормальной аппроксимации для статистического анализа многомерных стохастических дифференциальных систем следующих типов: линейные стационарные системы, линейные нестационарные системы, линейные системы со случайными параметрами, линейные системы с параметрическими шумами, нелинейные системы с полиномиальными нелинейностями.

В процессе исследования пакет «СтС-Анализ» выполняет следующие функции: ввод стохастических дифференциальных урав-