образно производить лишь в тех случаях, когда они заметно влияют на работу исследуемой схемы. Конденсаторы представляем сосредоточенными элементами с емкостью С. Если необходимо определить потери в них, то можно использовать последовательные, параллельные и более сложные схемы замещения.

7-4. Разработка алгоритма

автоматического формирования

и решения систем дифференциальных уравнений

Формирование системы дифференциальных уравнений исследуемых схем производится с помощью ЭВМ.

Дифференциальные уравнения представляем в форме Коши, что облегчает применение методов численного интегрирования уравнений. Исходной информацией служит матрица инциденций, отражающая графическую конфигурацию анализируемой цепи. При ее составлении ветви графа (столбцы матрицы А) размещаются в следующем порядке: источники напряжения Е, емкости С, сопротивления г, индуктивности L. Этот порядок необходим для построения собственного, а в тех случаях, когда имеются емкостные контуры или звезды индуктивностей,- нормального дерева [19]. Так как тиристоры и диоды замещаются активно-индуктивной эквивалентной цепью, то соответствующие им ветви графа размещаются в матрице А аналогично остальным ветвям графа.

Известно, что, используя матрицу инциденций Л, можно записать основные уравнения законов Кирхгофа в виде

EQ i = 0;

где Е

единичная матрица; Q == 4i 2. 1 и Л 2

(7-1) подматрицы

А, относящиеся соответственно к ребрам и хордам топологического графа системы; i и и - векторы токов и напряжений ветвей инвертора; верхний индекс «т» обозначает транспонированную матрицу, а индекс (-1) - обратную.

Матрица Q образуется при выделении в матрице А единичной подматрицы с целью построения дерева графа. Оставшиеся после такого преобразования столбцы образуют матрицу Q. После того как преобразование матрицы А закончено, ветви графа распола-гакяся в ней в следующем порядке: источники напряжения Е, емкости С, сопротивления г и индуктивности ребер, индуктивности L, емкости 5 и сопротивления g хорд. В соответствии с этим векторы i и U также необходимо разбить на отдельные составляющие, а именно: - вектор-столбец напряжений емкостных ребер графа; - вектор-столбец напряжений сопротивлений ребер графа; и, \ - векторы-столбцы напряжений и токов индуктивностей хорд графа; ig - вектор-столбец токов сопротивлений хорд графа.

Разобьем матрицу Q на подматрицы Qij в зависимости от типа ветвей и их положения в графе системы и используем известные

зависимости между токами и напряжениями индуктивных и емкостных элементов цепи. Обозначим: Е - вектор-столбец источников напряжения; Ср, С, Lp, - диагональные матрицы емкостей и индуктивностей, относящиеся к ребрам р и хордам х графа системы; R, G - диагональные матрицы сопротивлений ребер и про-водимостей хорд графа системы;

Qi = (Ср+QcsCQcs); Q2 = [-QcL -Qcg];

Qs = QTQ,; Q4 = (L, + QIlLQpl);

Qb=[QEL QcL QrJ; Qii = QTQb;

Qy = (R- -b QrfiQjg] [-Qr,GQl,-Qr/}Qlg - Q.J;

Qs = ((r-Q%RQr,)- [Qh Qh-Qmn].

Разобьем матрицы Qg, Qq, Q и Qg на подматрицы следующим образом:

Qs - LQsi Q32

E Uc

5 «c «Г

Qe = LQei Qe2 Qea E Uc

Q7=[Q71 Q72 Q73J Тогда окончательно можно получить

О

Qe2.

Qs - [Qai Qsi Qes

Qbi 0

Xi-f

Q32 0 0 Qe,

LQeiJ

(7-2)

(7-3) (7-4)

где X =

- вектор-столбец переменных состояния системы;

L"CJ

вектор-столбец резистивных переменных системы;

L «г

Вектор-столбец начальных условий Xq =

"со L iLoJ

можно опре-

делить, если в уравнениях (7-1) положить токи в емкостях и напряжения на индуктивностях равными нулю. Тогда система (7-3) в конечном итоге приводится к виду

Хо =

QcgQsa {QcL-\-Qcfisz)

.(QlL + QrLQn) QrLQ73

-QcgQei l-(QlL+QhQ7i) i

(7-5)

Вектор-столбец начальных значений токов и напряжений ре-зистивных элементов Yo находится с помощью выражений (7-4) с учетом (7-5).

Система (7-3) решается одним из известных методов численного интегрирования.

75. Оптимизация схем

Решение задачи оптимизации методами нлп. Рассматриваемую задачу проектирования можно сформулировать следующим образом: найти минимум функции F (х) - Fj (х) при ограничениях

gr (х) > О, i = 1, 2.....р, где F {х) - целевая функция. Ограничения представляют собой математически сформулированные требования к характеристикам инверторов, в первую очередь к схемному времени выключения тиристоров с целью обеспечения необходимого запаса устойчивости работы исследуемых систем, а также к выходной мощности, электромагнитным нагрузкам элементов и т. п.

Задачу НЛП будем решать методом штрафных функций или барьеров [411. В этом случае исходная задача формулируется следующим образом: найти минимум функции F (х) = 2/ (х) + ф,

где ф - функция, налагающая штраф на значение функции F (х) при выходе в процессе поиска из допустимой области (метод штрафных функций) или при приближении к ее границе (метод барьеров). При использовании метода штрафных функций задача поиска оптимального сочетания параметров инвертора сводится к следующей: найти минимум функции

F{x, г) = где X = [xi,

+ -V 2 oLtlgi (X), OlLn + Z 5 (X) . (7-6)

Г« 11=1 i=l )

J, . . . , Xnl - вектор оптимизируемых параметров инвертора (емкости конденсаторов, индуктивности дросселей, коэффициент трансформации выходных трансформаторов); - тех-нико-экономический показатель (объем V в кубических сантиметрах, масса М в граммах или стоимость Ц в копейках) /-го элемента, общее число которых равно q; - выходная мощность, Вт; г* - последовательность {г}Г, для которой при всех k удовлетворяются условияО, г*>г+ и Итг* = 0(здесь и далее верх-

НИИ индекс k применяется для обозначения номера члена последовательности); т - число ограничений, налагаемых на технические характеристики инвертора; mi-число ограничений, соответствующих требованию неотрицательности параметров инвертора; at - весовые коэффициенты, учитывающие различное влия-

ние ограничений на функцию цели F (х, г); Bi (х) - штрафная функция, выражаемая зависимостями:

Ui при хЛ/, (*==( О при х>Л„

причем значение постоянной q определяется экспериментально, а вектор-столбец Aj задает минимально допустимые значения параметров инвертора.

Как видно, используемая штрафная функция разбита на две составляющие. Первая из них учитывает качество процессов в инверторе на каждом шаге оптимизации. Ограничения gi (х) имеют вид:

для напряжений и токов элементов

ё(х)=2д-Zax>0;

для схемного времени восстановления управляемости тиристоров

giix)=Zi,-Z>0; для выходной мощности, равной Р„ + АР, Kx) = [Zax-(~-AP)]>0 И [(P~ + AP)-Z„3xl>0,

где Zn,ax» 2п,п» - соответственно максимальные, минимальные и предельно допустимые значения рассматриваемых переменных, определяемые по техническим условиям на соответствующие компоненты схемы.

Коэффициенты выбираются так, чтобы выделить ограничения, имеющие первостепенное значение, в первую очередь это требование обеспечения необходимого схемного времени выключения тиристоров.

Вторая составляющая функции Bi (к) имеет ступенчатый характер вследствие того, что недопустимым считается изменение знака параметра, а не его уменьшение. Вектор Ах необходим, так как при отрицательных значениях вектора параметров х возможна потеря устойчивости при численном интегрировании системы дифференциальных уравнений (7-3). Константа q выбирается таким образом, чтобы при возможной в процессе расчета ситуации, когда наблюдается условие х Ах, значение целевой функции F (х, г) становилось недопустимо большим по сравнению с ее значением внутри допустимой области.

Задача (7-6) с помощью метода штрафных функций решается следующим образом. При заданном значении г, которое обычно принимается равным единице, рассчитывается вектор параметров х с использованием какого-либо метода минимизации функции F (х, г) для задачи без ограничений. Далее находим величину х,

воспользовавшись значением г, определяемым из соотношения

где -целое число. Константа может быть выбрана, например, равной четырем 142].

Таким образом, получается последовательность значений х*. которая обеспечивает определение экстремального значения целевой функции F (х, г) с заданной точностью.

Критериальные модели электромагнитных элементов. Критериальные модели компонентов инверторов необходимы для экономного выполнения счета на каждом шаге оптимизации, причем для любых задаваемых условий.

Для создания таких моделей целесообразно руководствоваться основными положениями теории оптимального проектирования электромагнитных элементов. Ниже приводятся обобщенные закономерности для показателей технико-экономической эффективности трансформаторов. При их выводе учитывались аналитические связи между мощностью трансформатора, его геометрическими характеристиками и задаваемыми параметрами с учетом их взаимной зависимости для основного условия проектирования - критичности допустимого перегрева т = const. Для придания указанным закономерностям общего характера с целью анализа различных типов трансформаторов с помощью единых выражений введен метод геометрических изображений. Его применение позволяет любую геометрическую характеристику и любой технико-экономический показатель электромагнитного элемента выразить через его базисный размер а (ширина стержня, несущего катушку) и обобщенную безразмерную функцию ф. Последняя носит название геометрического изображения, и ее аргументами являются безразмерные параметры, характеризующие геометрию магнитного сердечника.

Критериальные модели электромагнитных элементов можно представить следующим образом [9]:

5=Фза». (7-7)

Здесь Э= V - объем; Э= М - масса либо Э = Ц - стоимость; ф5 = ФК. либо фз= Wm = АсТсфс + 7кЙокфшФок = фс (сТс + *s*ok), ЛИбо Ф5 = фц = ДссТсфс + ДкТкАгокФюфок = фс ЩсксУс + кДкок); kg =

- фшУкФок/фс; а - базисный размер электромагнитного элемента, см; Цс, Цк - цена сердечника и катушек в готовом электромагнитном элементе, коп/г; kc - коэффициент заполнения сердечника магнитопроводящим материалом; koK - коэффициент заполнения окна сердечника проводниковым материалом; 7с, 7к - плотности материалов сердечника и проводникового материала, г/см; фее, фок. фс, Фк, Фот. фд - геометрические изображения средней длины витка катушки, площади окна, объема, занятого сердечником, габаритного объема, массы и стоимости электромагнитного элемента.

Как видно из формулы (7*7), задача определения требуемого технико-экономического показателя сводится к нахождению базисного размера а, если выбрана геометрия сердечника и тем самым однозначно определены функции ф

Для трансформаторов обобщенные уравнения, определяющие размер а, содержатся в работе [9]. Приведем их в виде, удобном для выполнения расчетов на ЭВМ, при условии т = const:

9/31

(7-8)

22,2%

(1 }.v)kp(pll

-,9/31

сФп.кФокПт

(7-9)

Рг - габаритная мощность трансформатора, Вт; f - выходная частота инвертора, кГц; В - магнитная индукция в сердечнике, Тл; Qp - коэффициент допустимого увеличения потерь инверторов (генераторов), зависящий от скважности режима работы инвертора; т - перегрев, "С; ai - коэффициент теплоотдачи при базисных условиях, Вт/(см*-°С); (ps, фп. к - геометрические изображения сечения сердечника и поверхности охлаждения катушек; V - соотношение потерь в сердечнике и катушках; kj - коэффициент, учитывающий распределение проводников в объеме электромагнитного элемента; р - удельное сопротивление меди при 75 °С; 2к - относительная высота катушки; Бс - параметр, определяемый по (6-84); Шт - конструктивный коэффициент трансформатора; ho - высота базисной катушки, см; % - базисный перегрев,°С.

Используя рассмотренную методику, можно получить аналогичные зависимости и для дросселей. Для этого определим габаритную мощность дросселя Рг.пр как мощность двухобмоточного однофазного трансформатора, имеющего те же размеры, что и данный дроссель, и работающего при синусоидальных напряжениях и токах, частота которых равна частоте основной гармоники тока дросселя при прочих одинаковых условиях:

Р - - U I

где t/з - эквивалентное напряжение дросселя. В;

(/э = 4,44Бас/оу.10;

7-10)

(7-11)

/др - действующий ток через дроссель, к; ш - число витков

обмотки дросселя; Sc - геометрическое сечение сердечника, см*. С достаточной точностью справедливо равенство

в=-ii.lo

(7-12)

где }Хэ - эквивалентная магнитная проницаемость, Гн/м; - максимальное значение тока через дроссель. А; 4 - длина средней магнитной линии, см.

Подставив выражения (7-11) и (7-12) в формулу (7-10), получим

Л.дp=2,22/„/дpL/-10 где L - индуктивность дросселя, Гн.

(7-13)