где Yi Pvti - суммарная вероятность обеднения l-то уровня. Послед-нее уравнение определяется условием постоянства количества частиц

в системе Ni = No.

Выше была описана идеализированная картина. В действительности дело обстоит гораздо сложнее - стационарный баланс скоростей заселения и обеднения энергетических уровней квантовыми частицами является приблизительным. Корректнее полагать, что это физическое явление представляет собой квазистационарный процесс, который математически наиболее строго необходимо описывать для любой кванто-вомеханической системы с помощью матрицы плотности [5, 29].

2.5. Смешанные состояния. Матрица плотности

Основной постулат квантовой механики утверждает, что для определения состояния квантовой системы достаточно задать волновую функцию. При этом различают состояния квантовой системы, которым можно или нельзя сопоставить волновую функцию. Первые из них обычно называют чистыми, вторые - смеиганными состояниями.

Чистые состояния соответствуют максимально возможным сведениям об идеальной квантовой системе. Действительно, если система находится в одном из п собственных состояний, описываемых собственной функцией t/„, то физически измеряемая величина М с соответствующим оператором М имеет среднее значение {М) = \M\Un) и собственные значения определяются из уравнений собственных значений: MUn = М„[/„ (см. п. 2.1).

Произвольному чистому состоянию можно сопоставить, исходя из принципа суперпозиции, волновую функцию вида (2.6):

(2.22)

где с„ - коэффициенты разложения по полной ортонормированной системе собственных функций f/„. В этом случае физическая величина М определяется своим средним значением (математическое ожидание) [см. (2.7)]:

{М) = J таВД =={Ч„\М\Ч,). (2.23)

Часто возникает недоуменный вопрос, каков физический смысл состояний квантовых частиц? Собственные и чистые состояния являются частными понятиями формализма квантовой теории, а вот смешанное состояние может быть интерпретировано как энергетические уровни реального активного вещества квантовых генераторов и усилителей или квантованное электромагнитное поле в свободном пространстве.

В общем случае нет достоверной информации о квантовой системе с тем, чтобы описать ее с помощью линейных операторов или в матричном виде. Тогда применяют методы теории статистического распре-

деления, т. е. находят вероятность того, что система описывается функцией состояния Ч {q, t) и зависит от природы процесса измерений» который возмущает систему так, что эта система переходит в некоторое смешанное состояние (некогерентной суперпозиции чистых состояний).

Если известны волновые функции Чп чистых состояний квантовой системы, то смешанному состоянию можно сопоставить волновую функцию вида

где Рп - вероятность наличия п-го чистого состояния в рассматриваемом смешанном состоянии. Индекс л как бы задает порядковый номер состояния в рассматриваемом смешанном состоянии.

Тогда, учитывая (2.23), среднее значение величины М. для смешанного состояния есть

(М) = ЕРпта>„; Ч;=ЕЖ; ra-=Y,cJJm\ (2.24)

n,m п т

любой элемент матрицы Мпт соответствующего оператора определяется как

Тогда для смешанного состояния среднее значение величины {М) принимает вид

(M) = Sp. llcWlMcJJm. (2.25)

Если ввести обозначение

Рпт S Prfirfimt

(2.26)

то (2.25) можно записать в виде следующего произведения матричных алементов:

(М) = S РптМпт. (2.27)

Оператор р, представленный матрицей с матричными элементами Рпт (2.26), называют оператором плотности, а саму матрицу - матрицей плотности. Эти понятия почти одновременно были введены Л. Д. Ландау и Дж. фон Нейманом в 1927 г. [5, 29].

Если использовать правило перемножения матриц, то (2.27) записывается более кратко так:

{М) = S {рМ)пт = Sp (рМ),

(2.28)

где знаком Sp (шпур) обозначен след матрицы - сумма диагональных элементов матрицы (рЛ4).

Таким образом, смешанное состояние квантовой системы полностью описывается с помощью матрицы плотности, что дает возможность вычислить среднее значение любой физически наблюдаемой величины {М).

Так как применяя среднее значение оператора (М) = Sp (рМ), можно получить среднее значение, любой измеряемой величины, то матрица плотности рпт с точки зрения физика содержит всю существенную информацию, которую можно получить о данной квантовой системе. Поэтому новая формулировка квантовой теории в понятиях матрицы плотности является весьма полезной, поскольку позволяет изящно решать многие прикладные задачи квантовой теории.

Для дальнейших рассуждений необходимо знать следующие свойства матрицы плотности:

из условия действительности средних значений следует эрмито-вость матрицы плотности, т. е. -> -> р+„;

из условия нормировки след матрицы плотности равен единице (Sp (р) = 1];

любой диагональный элемент матрицы плотности для смешанного состояния системы равен значению р„„ = ц р„ с„ f;

любой диагональный элемент матрицы плотности для чистого состояния системы равен значению р„„ = с„ р.

Уравнение движения матрицы плотности (уравнение движения измеряемых физических величин) получается при дифференцировании матрицы плотности по времени и замене волновой функции W (q, t)

величиной Рпт-

дРпт = L 2 (р„,я„, - Н,пРш), (2.29)

или в операторной форме

= ~J-[Hp-pH].

(2.30)

Вводя квантовые скобки Пуассона Hp - рН = [Н, р], уравнение (2.30) можно переписать в виде

jhdpldt = [Н, р).

Полученное уравнение движения матрицы плотности определяет изменение матрицы плотности во времени подобно уравнению Шредингера для волновой функции чистого состояния. Это уравнение является более общим по сравнению с уравнением Шредингера, так как оно выведено для смешанных состояний реальных квантовых систем.

Глава 3. КОГЕРЕНТНОСТЬ, ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

3.1. Математическая запись квазимонохроматического излучения

В общем случае излучение является процессом возбуждения и распространения электромагнитного поля, которое может быть представлено суперпозицией электромагнитных волн со следующими характеристиками: амплитудой, частотой, фазой, поляризацией и направлением

распространения. Если излучением интересоваться практически, когда из электромагнитного поля необходимо извлечь информацию, закодированную в его характеристиках, то можно это излучение принимать за оптический сигнал [4, 22], который является однозначной функцией трех координат пространства и времени.

Волна, которую можно описать простой периодической функцией времени, называется монохроматической. Проекции напряженности

векторов электрического Е и магнитного Н полей этой волны на оси любой системы координат в этом случае изменяются во времени по гармоническому закону cos {at + ф). Величину ш называют круговой (циклической) частотой волнового процесса, ф - начальной его фазой. Заметим, что такая форма зависимости имеет наибольшее практическое применение, особенно в квантовых приборах. Результаты изучения подобных полей применимы и к более сложным случаям, ибо, как известно, любую периодическую функцию времени всегда можно разложить в ряд Фурье, каждый член которого является косинусои-дальной функцией времени.

Ограничимся в дальнейшем рассмотрением монохроматических волн с плоским фронтом, для которых в произвольный момент времени во всех точках любой плоскости, перпендикулярной к направлению распространения волны, векторы электрического или магнитного поля имеют одинаковое значение. При- анализе волны векторы Е я Н имеют эквивалентное значение, однако при математическом описании излучения вектору Е отдают предпочтение, полагая, что все операции с вектором Н будут аналогичными. Тогда форма записи квазимонохроматической плоской волны, распространяющейся, например, в ортогональной системе координат хуг в положительном направлении вдоль оси Z. в проекциях на оси координат будет иметь вид

ЕЕ (X, О, г, t) = Ео, cos [со - kz+ ф; Еу =Е (О, у, Z, t) = Еоу cos [at - kz+ (Ру],

где Еох, Еоу - амплитуды составляющих поля.

Для монохроматического излучения величины Еох, Еоу - постоянны и не зависят от времени.

Иногда вместо тригонометрической функции cos со поле удобно выразить через показательные функции, так как

coso>/ = (e"-f е-")/2. Тогда, учитывая временную и пространственную структуру квазимонохроматического излучения, вектор напряженности электрического поля такой волны удобнее всего записать в виде вещественной части комплексного выражения *

£ = Re 1Ёое-"-"% где Eq - некоторый постоянный комплексный вектор. Очевидно, что

-»

и напряженность магнитного поля Н имеет аналогичный вид с той же

См.: Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Теория поля.- М., 1960.- 328 с.

частотой (0. Величина

Я = 2лс/(й

называется длиной волны; она характеризует период изменения поля Е вдоль координаты z в заданный момент времени t.

Величину 2пп/Х = ига/с = k называют волновым вектором, а модуль вектора \ k \ - 2п/к - волновым числом {п - единичный вектор в

направлении распространения волны). С помощью k можно записать квазимонохроматическую плоскую волну в виде

£(7,0 = Re[£oe*~""]. Величину /со/ в показателе экспоненты называют комплексной фа-

зой волны; г является радиусом-вектором в принятой для рассмотрения системе координат.

Как известно, преобразование периодических функций значительно упрощается, если применять комплексные величины. Непосредственное физическое значение имеет, конечно, лишь вещественная часть этих комплексных выражений. Можно, однако, воспользоваться тем обстоятельством, что вещественная часть результатов, получаемых при выполнении линейных операций (дифференцирование, rot, div и т. д.) над комплексными выражениями, совпадает с результатами выполнения этих же операций над одними лишь вещественными частями исходных зависимостей. Поэтому переход к вещественной части комплексных величин может быть совершен как до, так и после выполнения этих операций [4]. Лишь при нелинейных операциях (например, умножении) необходимо переходить к вещественным частям комплексных выражений до выполнения над ними этих операций, ибо вещественная часть произведения комплексных величин не равна произведению их вещественных частей.

Обычно на практике приходится иметь дело с квазимонохроматическими волнами, содержащими частоты в некотором малом интервале Асо < (0. Учитывая это, квазимонохроматическое излучение, имеющее среднюю круговую частоту со = 2т, представляем математически вектором напряженности электрического поля в виде

где комплексная амплитуда Е (t) является некоторой медленно меняющейся функцией периода времени t = l/Aco т = l/co. Поэтому во временном интервале порядка т напряженность электрического поля можно считать практически неизменной величиной. Так как и = const, то множитель е-" общий для всех точек пространства (х, у, г г), можно выделить и записать эту формулу в виде

Е(7,1) = Ёо{7, ое-/

где Яо (> f) = 0 (О - комплексная амплитуда электромагнитного поля, или так называемый оптический сигнал, представляющий

собой огибающую квазимонохроматических колебаний;

£(;,0-£о(ЯОе-".. В общем случае, учитывая поляризацию излучения, можно представить еще одну запись излучения через компоненты поля на оси X и у в виде матрицы-столбца

E,{x.0,z.t) Eix,y,z,t) EO,y,z,t) или для поля, линейно-поляризованного, например, в плоскости xz,

Eix,0,z,t)Eo{x,0,z-,i)e-"" J

В дальнейшем в зависимости от постановки задачи будем использовать различные математические представления квазимонохроматического излучения: тригонометрическое, показательное или матричное.

3.2. Матрица когерентности

Обычно вопрос о наличии когерентности излучения решается при рассмотрении амплитуд и фаз волнового электромагнитного поля. Поэтому понятие когерентности очень тесно связывают с другим фундаментальным явлением излучения - интерференцией - сложением волновых полей со взаимным усилением либо со взаимным ослаблением в зависимости от координат пространства и времени.

Классический эксперимент Т. Юнга (1773-1829) интерференции от двух отверстий (рис. 3.1) дает представление о когерентности излучения. Если оба источника имеют одинаковую яркость, то наличие четких интерференционных полос можно считать признаком хорошей когерентности, тогда как отсутствие полос соответствует полной некогерентности. Отметим, что стационарность интерференционной картины с высоким контрастом также определяет когерентность излучения. С достаточной степенью приближения можно считать, что

когерентность есть свойство электромагнитных полей, когда происходит согласование во времени и пространстве нескольких волновых процессов. Качество когерентности оценивается по наблюдаемой в эксперименте интерференционной картине.

В этом определении качественная сторона ясна и понятна, но вот при оценке количественных характеристик возникают определенные трудности. Амплитуду и фазу по интерференционной картине непосредственно определить нельзя. Любой приемник излучения дает отклик только на интенсивность - суммарную или среднюю величину, пропорциональную квадрату амплитуды волны. Поэтому измеряемой характеристикой когерентности за период времени наблюдения Тнзм является ее интенсивность *

(3.1)

/„з„ » (ЕЕ*) т

* Строго говоря, интенсивность I = \E\dt=c&{EE*) определяется

как усредненная во времени плотность энергии электрического поля излучения, пересекающая перпендикулярно единичную площадку в единицу времени [16, 22].