данная физическая величина - энергия - принимает значение £„. Волновую функцию, теперь уже функцию состояния, согласно (2.6) можно разложить по собственным функциям

где коэффициенты разложения определяются зависимостью

an = [ KY„dx.

Так как собственные функции ортонормированы, то сумма квадратов модулей коэффициентов разложения равна единице, т. е.

В квантовой теории величине а„ р придают смысл вероятности существования состояния Wf,. Таким образом, чистое состояние V (л;) конструируется из собственных состояний Wi, W, Ws, Т„, причем вероятность существования состояния Wi равна liP, вероятность существования состояния 2 равна {af и т. д. Так как каждой функции Wn соответствует собственное значение £„, то квадрат модуля коэффициента I fl„ 1 равен вероятности того, что данная физическая величина принимает конкретное значение £„.

Итак, если система находится в состоянии W„, то данная физическая величина (в нашем случае энергия £„) может принимать дискретные собственные значения £i, £3, £3, .... £„ соответственно с вероятностями I 1I 02 Р, I «3 Р, ...,\а„ р. Набор собственных значений образует спектр. Если собственное значение физической величины £„ отождествить о уровнем энергии Е„, то этот набор собственных значений будет энергетическим спектром. Если одному уровню (собственному значению £„) соответствует одна собственная волновая функция (состояние) говорят о невырожденном уровне энергии. Если же одному уровню соответствуетволновых функций Wi, ¥2, .... то говорят о вырожденном уровне с кратностью вырождения gi.

В квантовой теории нельзя указать точное значение физической величины, если квантовая система находится в собственном состоянии. Можно указать лишь вероятность, с которой эта физическая величина может принимать то или иное значение. Зная эту вероятность, можно найти среднее значение физической величины, которое называется средним значением оператора О, соответствующим этой физической вели-

чине. Обозначается среднее значение оператора (О) или О.

Общий случай вращения квантовой частицы вокруг фиксированной оси. В этом случае уравнение Шредингера имеет вид [261

(2,18)

EWia) = - -1 (g)

где а - угоя поворота частицы вокруг фиксированной оси; /„ - момент инерции.

Решением (2.18) является W (а) - е-а*". Следовательно, энергия вращательного движения частицы определяется квантованными соботвенными значениями £„ = Йп7(2/а) для О, 1,2, п, а нормиро-

Рис. 2.1. К рассмотрению туннельного эффекта

ванные функции состояния

Например, если состояние системы ¥ {х) совпадает с собственным состоянием то среднее значение оператора совпадает с его собственным значением Еп, так как среднее значение оператора согласно (2.7)

(6) = W*(x)6¥(x)dx.

Точное решение уравнения Шредингера, как отмечено выше, может быть получено лишь для простейших функций. Уже при определении спектра атома гелия приходится прибегать к приближенным методам. Еще сложнее определить энергетические уровни атома, находящиеся во внешнем электромагнитном поле [5, 29]. В этом случае решения уравнения Шредингера находят приближенным методом, получившим название метода малых возмущений. Другим, часто используемым на практике методом является метод диагонализации матрицы возмущенного оператора [5, 17, 26, 29].

Туннельный эффект. Это - фундаментальное явление проникновения квантовых частиц через потенциальный барьер. Допустим, что на координате х имеется потенциальный барьер - узкая область шириной а, внутри которой потенциальная энергия равна Va, а вне ее - нулю (рис. 2.1). Частица, имеющая полную энергию Е = р/(2то) + 4- Va, меньшую потенциальной (Е < Va), движется слева направо. По законам классической механики частица не сможет преодолеть потенциальный барьер и в конечном счете должна отразиться от него. Квантовая теория дает иной результат; волновая функция частицы не затухает внутри барьера и не равна нулю в области а и за барьером. Если обратиться к уравнению Шредингера (см. п, 2,1) и определить решение его (2.17), то волновая функция W (х) - \pQ-"o(Va-B/h)

Существует некоторая вероятность обнаружения квантовой частицы на координате х, пропорциональная квадрату модуля волновой функции I W (х) р. Следовательно, отношение вероятности нахождения частицы за барьером W (а) р в точке х = а к вероятности обнаружения ее перед барьером W (0) р в точке х = О является «коэффициентом проникновения» частицы через потенциальный барьер;

k{x)\W (а) f/\ W (0) Р = е-2«/)Г m,iV-E) В этом равенстве квант действия h - величина, много меньшая 12то (Va - Е), находится в знаменателе экспоненты; поэтому коэффициент проникновения k (х) для классической частицы большой массы очень мал. Следовательно, чем меньше масса частицы, тем больше вероятность туннельного эффекта. Например, для высоты барьера 2 эВ и ширины его а = 10~* см вероятность прохождения электрона с

энергией I эВ сквозь барьер равна 0,78 [5], для протона с энергией 1 эВ - всего лишь 3,6 • 10".

Возможность проникновения частицы в «классически» запрещенную зону объясняет многие физические процессы, необъяснимые с точки зрения классической механики. К ним прежде всего следует отнести туннельные явления в полупроводниковых диодах, ионизацию атомов в сильном электрическом поле, явление а-распада и т. д.

2.4. Кинетические уравнения квантовой системы

Квантовые переходы между энергетическими состояниями в первом приближении рассмотренной теории возмущений могут описываться кинетическими уравнениями. Эти уравнения иногда называют также скоростными уравнениями или уравнениями баланса. Метод кинетических уравнений применим для решения целого ряда физических задач микромира. Назовем основные из этих задач: накачка вещества в стационарном режиме; определение типов колебаний лазерного излучения вдоль продольной оси резонатора аксиальных мод; определение порогового значения мощности накачки; вычисление ширины линии излучения; получение условий, определяющих генерацию лазеров, динамику генерации гигантского импульса, устойчивость стационарного режима и др.

Накачка - физический процесс перевода квантовых частиц на возбужденные энергетические уровни под воздействием света, тока, химических реакций и т. д. В результате действия накачки образуется инверсия населенностей квантовых уровней н вещество, поглощая энергию накачки, становится активной лазерной средой.

Кинетические уравнения описывают изменение во времени средних значений количества фотонов и населенности энергетических уровней. В каждом конкретном случае кинетические уравнения составляются с учетом элементарных рассуждений о вероятностях переходов. Тем не менее существует ряд соображений общего характера. Поясним их вкратце.

Элементарные процессы, приводящие к образованию инверсии на рабочих уровнях, связаны с квантовыми переходами между энергетическими уровнями. При анализе условий получения инверсии населенности рассматриваются только начальные и конечные состояния основных квантовых переходов. В зависимости от количества таких состояний говорят о двух-, трех- или четырехуровневой схеме возмущений рабочих состояний. Следует иметь в виду, что каждая из указанных схем является разумным упрощением, позволяющим учитывать только основные явления. Приведем упрощающие допущения.

Излучение накачки взаимодействует только с одним переходом. Это условие выполняется либо подбором спектрального состава излучения накачки и уровней поглощения активной среды, либо выбором конкретной группы уровней, у которых вероятность перехода из основного состояния в верхние возбужденные значительно превышает вероятности всех других квантовых переходов. Состояния квантовой системы представлены идеализированными бесконечно тонкими невырожденными уровнями энергии, кратность вырождения которых g,- =

~~" 1 •

Изменение населенностей уровней обусловлено следующими кван- f товыми механизмами:

спонтанными переходами на нижние уровни с вероятностью перехода Апт)

безызлучательными переходами, преобразующими энергию кванто-вых переходов в тепловую с вероятностью перехода S„m,

вынужденным излучением (поглощением) с вероятностью перехода р,Впт.

Вначале рассмотрим простейшую двухуровневую квантовую си-

Рис 2 2 Схема энергетических состояний двухуровневой квантовой системы 1а\ и зависимость населенностей уровней и JV,/JV„ от плотности

излучения накачки р., (°)

шую двухуровневую квантовую систему (рис. 2.2, а), где активная среда имеет уровень Ei - основое состояние и уровень Е - возможное возбужденное состояние. При создании возмущения, т. е. облучения активной среды порцией электромагнитной энергии, возникают три квантовых процесса, связанные с переходами микрочастиц из одного состояния в другое. Во-первых, происходит поглощение излучения накачки в частотном диапазоне, соответствующем данному переходу. Число фотонов, участвующих в этом процессе, рн = fiAi. где pvH - спектральная плотность излучения накачки. Во-вторых, возникает обратный процесс вынужденного излучения, число фотонов которого pvaiAa- Наконец, следует учитывать спонтанное излучение из-за распада второго возбужденного энергетического уровня. Если вероятность этого распада Ах, то число фотонов в спонтанном излучении равно AiiN. Для стационарного режима генерации составим баланс количества фотонов, участвующих во всех указанных выше процессах:

При равенстве кратностей вырождения уровней gi~ = 1 очевидно pvBi2 = Pvfiai-

Так как было допущено, что частицы находятся только в одном из двух рассматриваемых состояний, то справедливо условие jVo = Aj -f--f- N2, где Л/о - общее число квантовых частиц в единице объема активной среды (населенность активной среды). Решив систему двух уравнений, получим населенности этих двух уровней:

Л21 + Pv2

(2.19)

21 + 2рВ21

При отсутствии возбуждения, т. е. при нулевой спектральной плотности энергии излучения накачки (pvH = 0), все частицы находятся на энергетическом уровне Е (рис. 2.2, б). С увеличением спектральной плотности энергии излучения накачки населенность уровня Е экспоненциально убывает, а населенность уровня Е монотонно увеличивается. В предельном случае, соответствующем бесконечной спектральной плотности энергии излучения накачки, населенности обоих уровней и выравниваются. Отметим, что при любом значении спект-

Рис. 2.3. Схема энергетических состояний трехуровневой квантовой системы (dS и зависимость насенностей уровней bSlN, NjN и NjN от плотности излучения накачки (б) и » о . у

ральной плотности энергии излучения накачки (pv„ оо) и равенстве вероятностей поглощения и излучения (pvi = Pvi) населенность верхнего уровня не превысит населенности нижнего уровня. Отсюда вытекает важный вывод для двухуровневой квантовой системы: при оптической накачке принципиально невозможно создать инверсию населенностей и, следовательно, получить генерацию лазерного излучения. Для трехуровневой квантовой системы при стационарном режиме генерации кинетические уравнения выглядят так (рис. 2.3, а)

Ез PvSisA/j - (рбз! + -f S32) Лз = 0;

E,-S,,N,-A,,N,0; El (PvBsi + A,i) N, + AiN - PvBjaA/i = 0; N,=Ni + N + N,; Si3 = fi3i; gig, = g, = \.

Решив эту систему относительно населенностей уровней, получим:

Л/з =

(PvM + Л.З] + 5,32) Л21 + (5з2 + Л21) pfiij,

(Pvw + A,,, +

No; Л/о;

(2.20)

При отсутствии возмущения, когда спектральная плотность энергии излучения накачки равна нулю (р™ = 0), все квантовые частицы сосредоточены на нижнем основном уровне (рис. 2.3, б). При увеличении верхний и промежуточный уровни начинают заселяться. Населенность нижнего основного уровня постепенно уменьшается. Если спектральная плотность энергии излучения накачки беспредельно увеличивается Pvh- °°), то населенности N и Лз выравниваются и N3 = Ni = "221 + 532 рассматриваемой квантовой системе

вероятность перехода Sg больше вероятности перехода Ai, то, начи-48

ная с некоторой энергии накачки ~ (Рун)пор. населенность второго уровня превысит населенность основного уровня, т. е. N2 > N. В этом случае величину (pvH)nop называют пороговой спектральной плотностью энергии излучения накачки, а избыток населенности частиц на втором уровне по сравнению с населенностью первого уровня - инверсией населенности

AN2i = N2-Ni.

С увеличением рун инверсия населенностей возрастает, стремясь в пределе к величине

- А21

lim АЛ/21 =

No,

и при S32 « АЛ/21 ~ 0.

Таким образом, в трехуровневой системе можно получить инверсию населенностей на переходе £2 i- Для этого необходимо, чтобы выполнялось условие S32 > А21 и спектральная плотность энергии излучения накачки превышала пороговое значение, так как только в этом случае относительная инверсия населенности будет больше нуля, т. е. A/V21 V0 > 0.

Приравнивая значения населенностей уровней Ni = Лг из уравнений (2.20) и решая полученное равенство относительно PvSig, находим пороговое значение спектральной плотности энергии излучения накачки

/. ч (5з2 + А21) Л;, (9 9\\

(PvH)nop - fi,i (5з, - An)

Условие наименьшего порога накачки в трехуровневой системе соответствует наибольшему времени нахождения квантовых частиц на втором уровне, т. е. наличию метастабильного уровня в системе. Помимо этого необходимо, чтобы активное вещество имело широкую полосу поглощения и чтобы усиление превышало потери. При выполнении этих условий возможна генерация вынужденного излучения.

В общем случае, если рассматриваемая квантовая система состоит из т уровней, для определения населенностей уровней необходимо иметь систему т уравнений. Для т- 1 возбужденных состояний записываются условия баланса - равенство скоростей заселения и обеднения энергетических уровней. Уравнение баланса для верхнего уровня записывается следующим образом:

. pyBimNi -

Pvml + \i (Ami +5m(m-1))

N = 0,

где Ij (Лт1 + Sm{m-))) - суммарнзя вероятность обеднения верхнего

энергетического уровня. Любой /-й промежуточный уровень заселяется с учетом правил отбора при указанных ограничениях за счет обеднения верхних состояний и связан со спонтанными и безызлучательными переходами на нижние уровни:

п 1 - \

2 SaNi-NiZ PvS„ = 0,