где f {х) - произвольная функция, непрерывная в окрестности точки X = дго.

Из определения дельта-функции следуют несовместные условия

6(jc)-0 при хфО; lb{l)dl=l.

б (л:) является обобщенной функцией, позволяющей формально представить функциональное преобразование f (I) / (х) в виде интегрального преобразования.

Тем не менее классическая математика того времени игнорировала дискретное строение материи, объясняемое законами квантовой механики и фундаментальными открытиями экспериментальной физики. Все это вызывало методические трудности как в математике, так и в физике, пока теоретики не развили новый математический аппарат - теорию обобщенных функций. Эта теория дает единообразную запись дискретного и непрерывного и широко использует операционное исчисление, в котором сложные интегродифференциальные уравнения, описывающие физические явления, преобразуются в систему алгебраических уравнений, удобных для решения и аналитического конструирования.

В 1928 г. П. Дирак выдвинул оригинальную теорию фундаментального физического значения. Одно из ее главных достоинств заключалось в том, что она гармонически сочетала кванты, теорию относительности и спины*. П. Дирак создал векторную модель многоэлектронных атомов и разработал основы релятивистской ** квантовой механики. Для изложения своих идей П. Дирак ввел необычный для того времени математический аппарат - линейную векторную алгебру.

Вектор состояния W он обозначил символом W) и назвал его кет-вектором. Существует единственное однозначное соответствие между каждым кет-вектором ]Y) и другим вектором (Ч*"!, названным б/7а-ве/с-тором.

Основные свойства представления П. Дирака:

1. Векторы IT) и (¥1 в зависимости от конкретной ситуации могут принимать любые дискретные или непрерывные значения.

2. Произведение любых бра- \ и кет- векторов является скалярным произведением и равно интегралу от произведения комплексно-сопряженных функций состояния, представленных в пространстве Гильберта ***:

(2.10)

/,тг 3- Произведению векторов (¥4f) присущи свойства скалярного произведения!

* Спин - собственный момент количества движения квантовой частицы. ** Релятивистские эффекты наблюдаются при скоростях квантовых частиц, близких к скорости света.

*** Пространством Гильберта называют полное бесконечномерное векторное пространство л, для которого можно определить бинарную операцию, ставящую каждой паре действительных либо комплексных векторов Ч, « из п в соответствие скаляр I и), т. е, скалярное произведение пары векторов и.

4. Векторы \ и ортонормированы:

\ I, п = т.

5. Имеет место линейное соответствие векторов 14) и а) и любому линейному

оператору А. Если кет-вектору соответствует некоторый кет-вектор ) и), то считается, что вектор I и) образуется в результате действия на ) некоторого линейного

оператора А:

1«)=Л¥).

Кроме этого соответствия между линейным кет-вектором Дирака и оператором А представления Шредингера, а также зависимостей (2.9) и (2.10), в матричной формулировке квантовой теории каждый линейный оператор А может быть задан матрицей, причем элемент матрицы, соответствующий оператору А, определяется как

A„=\A\V*dq = QY\A\V*). (2.11)

В представлении Дирака уравнение Шредингера имеет вид

H\¥) = ihd\4)ldt.

Границы применимости квантовой теории пока неизвестны. Эта теория самая общая и всеобъемлющая из всех существующих физических теорий, ее применяют при изучении микромира и космоса.

2.2. Принципы неопределенности, соответствия, суперпозиции

В классической механике при изучении движен!1я частицы по траектории предполагается, что в каждый данный момент времени у частицы существуют определенная координата и определенный импульс движения. Однако для микрочастиц это положение несправедливо. Частице G импульсом р соответствует длина волны %, определяемая из соотношения, убтановленного Л. де Бройлем (1892 г.): р = hk = h X X 2л,/%. Поскольку длину волны невозможно определить для интервала пространства, равного точке, координата и импульс не могут одновременно иметь точных значений. Невозможность точного определения координаты электрона в атоме аналогична «размазыванию его по объему атома».

Подобная неопределенность существует также между энергией Е и временем t: в каждый данный момент времени энергия частицы не определена точно из-за того, что в фиксированный момент времени нельзя определить частоту v, а следовательно, и энергию, связанную с частотой соотношением

£ = Йо) = 2nhv.

При фиксированном х или нельзя судить о значении импульса или энергии соответственно не потому, что эти величины неизвестны, а потому, что эти понятия лишены смысла так же, как «длина волны в точке» или «частота в определенный момент времени», так как для опре-

деления длины волны требуется некоторая область пространства, а для определения частоты - некоторый интервал времени.

Принцип неопределенности в 1927 г. сформулировал В. Гейзен-берг так:

сопряженные измеряемые величяны Е t, р х, ф и и т. д. квантовых систем одновременно могут быть определены до значения постоянной Планка например ДрДас > ft, АЕ At > Й. Иными словами, существуют сопряженные пары физических измеряемых величин, характеризующих состояние квантовых частиц, которые не могут быть точно измерены одновременно.

Рассмотрим в общем виде возможность одновременного определения точного значения каких-либо двух физических величин Л и 5. В квантовой теории, как мы видели, им соответствуют операторы А и

в. Предположим, что нас интересуют значения физических величин Aw В.

Для одновременного точного определения двух физических величин А-я В требуется, чтобы их операторы А я В имели общую собственную функцию. Это возможно, когда операторы Л и В являются коммутиру-ющими, т. е. АВ = ВА. В квантовой теории состояние ансамбля частиц задается спектром собственных значений коммутирующих операторов.

Если операторы не являются коммутирующими, то соответствующие им физические величины не могут одновременно иметь точных значений; поэтому АхАрх Й. Аналогично этому величины t и Е связаны соотношением AtAEfi. Соотношение неопределенностей показывает, что координата и импульс не могут быть одновременно точно измерены: так, при уменьшении разброса в значении координаты (Ад; -> 0) возрастает разброс значения импульса {Ар оо) и наоборот. Сравним проявление этого соотношения в микро- и макромире.

Пример. Определим погрешность в определении скорости электрона н макрсхгела. Положение электрона в атоме невозможно определить точно. Примем в качестве меры разброса его координаты радиус атома, равный 10"" м. Пользуясь соотношением неопределенностей, найдем неопределенность в скорости. Так как Ар = mAv, то

1,05 10-3*

At; >

0,9 • 10

1-30 . ,g-io

!v м/с.

что является значительной величиной.

Рассмотрим теперь шарик массой 1 г, положение которого определено с погрешностью 10 м. Тогда минимальная погрешность в определении скорости

Av >

1,05 10-3> 10-3 . ю-6

Это чрезвычайно маленькая величина, т. е. можно считать, что Av = 0. Таким образом, для тел макроскопических размеров соотношение неопределенностей практически не имеет никакого значения. Однако оно чрезвычайно важно при изучении микрочастиц.

Выясним соотношение неопределенностей для времени и энергии. Учтем, что в эксперименте исследуется не полная энергия какого-

либо состояния, а разность энергий при переходе частицы из одного состояния в другое. Поэтому надо рассматривать неопределенность в получении разности энергии двух состояний: А (£„ - Под А/~ X понимают время жизни атома в возбужденном состоянии. Таким образом, тА {Еп - £т) > f Разбросу разности энергии соответствует разброс в частоте Ди = А (£„ - EJ/h, который можно принять за ширину спектральной линии излучения. Используя выражение Ди, получаем, что тАсо > 1. Следовательно, чем больше ширина спектральной линии, тем меньше время жизни частицы в возбужденном состоянии. Учитывая полученное соотношение, можно сказать, что чем дольше время измерения, тем точнее может быть измерена энергия.

Рассмотрим соотношение неопределенностей, связывающее число фотонов и фазу. Неопределенность энергии можно представить как произведение энергии одного фотона на неопределенность числа фотонов АПф. Тогда й(оА/Апф > й/2. Но (оА/=Аф -это неопределенность фазы. Следовательно, АфДпф > 0,5, т. е. чем больше неопределенность в числе фотонов, тем точнее можно измерить фазу.

Принцип неопределенности, записанный в виде АиАх Й П, при т- оо показывает, что чем больше масса частицы, тем с большей точностью некоторые понятия квантовой теории соответствуют понятиям классической механики. Действительно, если масса частицы бесконечна {т вЬ), то отношение h/m О, т. е. координата и скорость частицы могут быть определены точно. В этом заключается принцип соответствия, сформулированный в 1923 г. Н. Бором:

при разработке теории необходимо руководствоваться тем соображением, что когда квантовые числа системы принимают все большие и большие значения, характеристики испускаемого излучения должны асимптотически стремиться к значению, определяемому классическими законами.

Иными словами, законы новой теории должны соответствовать законам классической физики, когда квантовая дискретность стремится к нулю, т. е. когда квант действия при переходе к пределу lim к/т ->

О мал.

Основная трудность, с которой сталкивается классическая теория в микромире, состоит в дискретности и разрывности физических величин. Установлено [17], что классическая теория макроскопически корректна, т. е. она правильно описывает физические явления в предельном случае, когда квантовая дискретность считается пренебрежимо малой. Это утверждение можно сформулировать более кратко:

асимптотически в пределе больших квантовых чисел результаты квантовой и классической теории должны совпадать.

Третьим фундаментальным принципом квантовой теории, который узаконивает обоснованность применения линейных операторов и матричного математического аппарата, является принцип суперпозиции. В общем виде он формулируется следующим образом: если на консервативную систему действуют одновременно несколько возмущающих воздействий, то реакция системы на их совместный эффект эквивалентна сумме эффектов, вызываемых каждым из возмущающих воздействий в отдельности. Например, это утверждение с полным основанием можно

отнести к так называемому чистому состоянию ансамбля квантовых частиц. Относя наши рассуждения вообще к квантовым системам, содержание принципа суперпозиции можно свести к следующему:

если квантовая система находится в состояниях, описываемых волновыми функциями Tj, Wj.....<F„, то линейная комбинация (суперпозиция) этих функций

* = S пп тз"* является волновой функцией, описывающей одно из возмож-1

ных состояний.

в частности, ансамбль квантовых частиц (статистический набор микрочастиц), описываемый определенной волновой функцией, называют чистым состоянием.

Основное свойство чистых квантовых состояний как раз и определяется принципом суперпозиции: если какая-либо квантовая система может находиться в двух возможных состояниях, изображаемых волновыми функциями Wi и то существует третье состояние, изображаемое волновой функцией W = aWi + aW, где она также может находиться. Ансамбль, не имеющий определенной волновой функции, называют смеиишным состоянием. Смешанные состояния, в отличие от чистых, характеризуют матрицей плотности р„т.

2.3. Простейшие случаи решения уравнения Шредингера

Учитывая корпускулярно-волновой дуализм физической природы излучения, можно предположить, что дифференциальное уравнение движения микрочастицы имеет вид волнового уравнения Максвелла [4]

{x, у, г) + kV {x, у, г) = О, (2.12)

где k = 2п/Х - волновое число.

Кинетическая энергия частицы с учетом дебройлевской длины волны Л = = h/p = 2nh/{mv) есть = £ - К = mvV2 = НУ{2тХ), где Б - полная энергия; -TviSTiEV)] "Р™"! ft = Л/(2я) - постоянная Планка;

Так как

( 2п\

= (2я)--(£ V) = (£ VO,

ft2

ТО стационарное, независимое от времени уравнение Шредингера получается подстановкой в волновое уравнение (2.12), которое позволяет определить все стационарные состояния микрочастицы:

УЧ {x, у, г) -Ь - (£ - V) Ч {x, у, г) = 0. (2.13)

Решение аналогичного уравнения для нестационарного случая имеет вид

V(x,y,z,t) = V(x,y,z)-<* (2.14)

и дает собственное значение волновой функции, представляющее собой комплексную амплитуду {х, у, г).

Дифференцируя по времени (х, у, г, {) и учитывая, что м = 2яу = B/h, где Е= па - соотношение Эйнштейна, получаем

{x, у, г, f)/dt = - jo>W {x. у, г, t), (2.15)

EV (х, у, г, t) = jhdV {x, у, г, i)/di.

Принимая во внимание оператор полной энергии (2.2), записываем иестациоиар-ное уравнение Шредингера, учитывающее координаты (х, у, г) и время t:

J! V2 + i>j (x, у, г, t) = !hd4 (x, у. г, t)/dt. (2.16)

Общее решение (2.16), по-видимому, будет аналогичным (2.14), т, е.

V(x,y,z,t} = W(x,y,z)t-K (2.17)

Учтя (2.2), получим

jndV/df = Я¥, или Я¥ = £¥. Это уравнение Шредингера, не зависящее от времени, является стационарным уравнением Шредингера.

Пользуясь элементами приведенного математического аппарата и постулатами квантовой теории, рассмотрим некоторые частные случаи решения уравнения Шредингера.

Система п материальных точек. Волновая функция принимается в виде W {t, xi, уг, Zi, х„, 2„) = Y. Уравнение Шредингера

1 - = -г2.-„., .

В стационарном случае сводится к уравнению

EW {Xi, Ус, Zt)=-~Yi- " У + У

Для интервала Oxl и одной частицы уравнение Шредингера имеет вид [26] {х) = ---. Если потенциальная энергия

системы V (х) = О, то при О < X < / частное решение этого уравнения, предложенное Э. Ферми [26], будет

W{X) e-/V" 2тЕ/!,х

Условие периодичности требует, чтобы функция ¥ (х) имела вид W (х) ~ er/WDnx „ принимает любые целые значения числового ряда (1, 2, 3.....п). Сравнивая это выражение с решением W (х), определяем энергию п-го состояния

Таким образом, пришли к интересному и важному выводу. Значения энергии оказываются квантованными даже в этом простейшем случае. Самое низкое энергетическое состояние частицы получается при га = 1; оно называется основным, остальные состояния -возбужден-ньши. В данном случае для частицы получилось бесчисленное множество возможных состояний, характеризуемых собственными функциями Wn (х). Собственные функции (х) характеризуют собственные состояния, при которых энергия принимает конкретное значение. Состояние физической системы описывается волновой функцией W (х). Если эта функция равна какой-либо собственной функции W„ (х), то