л о.

4)1 31

образом: е„ = р/{2т). Оператор импульса уже известен: р = - /ЙУ.

Следовательно, = (- /V) = - "ir

Оператор потенциальной энергии 0V = полной энергии

V. Окончательно оператор

E:=H(p,q)=--V + V.

(2.2)

Если обратиться к уравнению Шредингера (2.1), то формально можно заключить, что оператор кинетической и потенциальной энергии есть квантовый аналог правой части уравнения Шредингера, т. е.

В общем случае, как это следует из предыдущих рассуждений, если некоторое преобразование позволяет сопоставить каждой функции ¥ одну и только одну определенную функцию F, то говорят, что ¥ есть

функция, получаемая в результате действия некоторого оператора А

на исходную функцию ¥, и записывают: ¥ = ЛЧ. Среди операторов, которые могут действовать на волновые функции Ч->Ч(, t) -> {x,y,z, t), связанные с квантовой частицей, можно выделить два наиболее нужных типа:

а) дифференциальные операторы d/dq, d/dt;

б) операторы / (q. t), действие которых состоит в умножении функций ¥ на функцию / (q, t).

Ввиду исключительной важности линейных операторов для квантовой механики остановимся на их свойствах подробнее. Пусть имеет-

ся линейный оператор О. Подберем такую функцию ¥„, чтобы результат действия на нее оператора О сводился к умножению на постоянный

множитель А,„, т. е. выполнялось равенство 0¥„ = кЧп. В этом случае данное уравнение называется уравнением собственных функций и собственных значений оператора. ¥„ является собственной функцией

оператора О, а К - собственным значением, соответствующим собственной функции W„.

Обычно существует несколько, а в квантовой теории и бесконечно много, собственных функций и собственных значений. Если одному собственному значению оператора соответствует несколько собственных функций, то собственное значение оператора вырождено. Совокупность собственных значений называется спектром оператора О. Такой спектр может быть дискретным и непрерывным. При дискретном спектре решение возможно лишь при вполне определенных значениях чисел Я„, в случае непрерывного спектра решение существует при любых В общем случае собственные значения могут быть как вещественными, так и комплексными. В квантовой механике рассматриваются лишь такие операторы, собственные значения которых вещеет-венны.

Свойством вещественности собственных значений обладают самосо-

пряженные (эрмитовы) операторы. Оператор О называется самосопряженным, если он удовлетворяет условию [5, 17, 26]

(2.3)

где Wi (q) и W2 iq) - произвольные функции, а звездочка означает комплексную сопряженность.

Отметим, что у самосопряженных операторов собственные значения должны быть вещественными, т. е. эти операторы должны изображать вещественные физические величины.

Самосопряженными являются следующие операторы: любая вещественная функция координат, в частности сами координаты х, и, z,g

и операторы р, ру, р,. Оператор энергии f = - - -j- У также яв-

ляется самосопряженным, тогда как оператор О = д/дх не самосопряженный.

Остановимся еще на одном свойстве самосопряженного оператора: его собственные функции ортогональны. Пусть ¥„ и - две

собственные функции самосопряженного оператора О, отвечающие двум собственным значениям Х„ и Рассматриваем невырожденный случай:

ортогональность функций ¥„ (д) и W„ (q) означает, что при п ...

\wi{q)4„,{q)dq = 0.

"При п = т получим положительную величину:

lw:iq)W„{q)dq= l\W„\dq,

Функции Чп могут быть выбраны такими, чтобы эта величина была шормирована, т, е, равнялась единице. Это вытекает из того, что реше-

нием уравнения 0Ч„ = вследствие линейноети оператора О яв-дяется А,„¥„, где Х,„ - произвольная постоянная.

Собственные функции, удовлетворяющие условиям ортогональности

и нормировки

J4„P<i9=l,

(2.4)

(2.5)

йазываются отортонормированными. Можно показать, что такая си-ма функций является полной. Таким образом, собственные значения сШраторов квантовой механики вещественны, а собственные функции оргогональны, Этим определяется замечательное свойство функций

состояния W (q) - их можно разлагать в ряд по собственным функциям оператора 0W„, т. е.

Ч() = 1]ЯЛ. (2.6>

Другое замечательное свойство функции состояния заключается в

том, что если оператор Н соответствует любой физически наблюдаемой величине, например энергии Е, и состояние квантовой системы описывается ортонормированной функцией W (q), то среднее значение наблюдаемой величины

(Е) = W*iq)HW{q) dq.

(2.7)

Напомним основные действия с линейными операторами: /\

1) сумма двух операторов S = О + Л для некоторой функции состояния ¥ равна

2) умножение оператора О на постоянную С дает

3) произведение двух операторов В = OA, где оператор О умножается на оператор А, равно

m-OAY-OiAWy,

очень важно, что произведение операторов, так же как и матриц, некоммутативно т. е.

OA Ф АО;

4) разность OA - АО двух произведений операторов называется коммутатором

операторов О, А и обозначается квадратными скобками (квантовой скобкой Пуассона) [5, 17]:

ОА - АО-10, А];

если эта разность равна нулю, считается, что операторы коммутируют, т. е. OA = АО. Пример. Операторы дифференцирования коммутируют между собой, т. е.

дх dt

dt дх

дх dt

= 0;

, Я

= 1;

,f(y)

4. Единственно возможными значениями физической величины являются собственные значения ее оператора. В классической механике физические величины могут принимать любые значения. Например, энергия колеблющейся частицы Е = mvl2 + kxl2 может быть любой в зависимости от значений скорости v и координаты х. В квантовой механике дело обстоит иначе. Этот постулат утверждает, что для определения возможных значений физической величины надо найти собст-

венные значения Я„ из уравнения дЧ„ = ХЧп, в котором О - оператор, соответствующий интересующей физической величине, - функция состояния.

Этот постулат задает способ составления уравнений квантовой механики и решения наиболее важной задачи - определения возможных значений физической величины. Чтобы определить, какие значения может принимать данная физическая величина, необходимо составить для нее уравнение классической механики, заменить входящие в это уравнение величины соответствующими операторами и, учитывая принцип суперпозиции, найти собственные значения полученного оператора [17].

5. Квадрат модуля функции состояния

¥(?)Г = Ч*()Ч()

есть плотность вероятности того, что частица находится в элементарном объеме на обобщенной координате q. Вероятность нахождения частицы в интервале (i < q)

P{qx<q<q.) = \\fdq,

Так как вероятность того, что частица находится на координате q, есть достоверное событие, то

P{q)= J 14()19=1.

(2.8)

Отсюда вытекает необходимость нормирования функции состояния по отношению к единице. Поведение даже одной квантовой частицы в квантовой механике носит вероятностный характер, тогда как в классической механике оно не описывается вероятностным математическим аппаратом.

Почти одновременно и независимо от Э. Шредингера немецкий физик В. Гейзенберг разработал другой метод решения уравнений состояния и математический аппарат квантовой механики. Вместо линейных операторов он предложил оператор-матрицу, что для количественных расчетов и описания физических процессов явилось более удобным математическим представлением.

Элементы матрицы эквивалентно определяют возможные состояния и вероятности квантовых переходов. Матричный метод анализа формализует поставленную задачу в компактной форме и с помощью достаточно простых алгебраических вычислений позволяет получить практически важные численные результаты. Заметим, что матрицы как удобную форму записи систем линейных уравнений впервые в 1857 г. ввел английский математик А. Кэли [10]. Оказалось, что аналогично вырожденным и невырожденным энергетическим уровням квадратные матрицы могут быть также вырожденными и невырожденными. Вырожденной матрицей является та, определитель которой равен нулю, у невырожденной матрицы определитель отличен от нуля. Самое благоприятное заключается в том, что собственные значения оператора-матрицы являются диагональными элементами dn, dga, das.....

диагональной матрицы D. Поэтому вся операция вычисления собственных значений оператора сводится к диагонализации исходной матрицы, т. е. несложному вычислению матрицы вида

"du О О ., Z)= О О ..

[о О d,s ...

Действительно, любой линейный оператор множества собственных функций, пользуясь (2.6), можно привести к системе линейных равнений

¥i (q) = XW, + X,,W, -Ь . •. -f XuW„; (q) = + X,,W, + + ХЛ

Чп (q) = Xniii + + •• + XnnW„,

где %tk = const, T. e. любой iq) = S Хц,.

ft, 1=1

По-видимому, линейный оператор О, соответствующий уравнению

Оп = X„W„ и имеющий линейную комбинацию суммы произведений коэффициента собственных значений ХК ... Х ... Х., на собст--венную функцию, можно представить в виде квадратной (п х п) матрицы:

Хц X,

Х,г I

22

(2.9)

п2 . ....

Для матричных элементов также применима запись Хп = (т\Х \ п), где т - номер строки, п - номер столбца в матрице (2.9).

Так же, как и линейные операторы, матрицы могут быть эрмитовы, образовывать собственные векторы, вырождение собственных значений и т. д.

Матрица, эрмитово сопряженная данной матрице О, обозначается символом 0+ и образуется путем последовательного применения к исходной матрице О операций транспонирования и комплексного сопряжения. Транспонирование матрицы есть замена ее столбцов строками или наоборот. Например,

¥,

является матрицей, эрмитово сопряженной матрице ¥ = [¥, ¥*, ...

Матричный аппарат имеет еще одно неоценимое достоинство. Матрицы достаточно просто позволяют получить алгоритмы для вычисли-

тельных машин дискретного действия. Применение ЭВМ позволило определить возможные состояния энергетических уровней сложнейших квантовых систем, траектории движения частиц в электромагнитных полях и установить другие физические явления микромира. Более строгое отличие двух математических представлений квантовой теории заключается в следующем.

При описании изменения состояний квантовых систем с помощью уравнений Шредингера предполагается, что операторы физических величин явно от времени не зависят, а вся зависимость от времени содержится в функции состояния или матрице плотности. В представлении Гейзенберга зависимость от времени заключена не в функции состояния или в матрице плотности, а в операторах физических величин. Эти два представления эквивалентны [5, 17].

Пример. Определить собственные значения оператора N = SS при условии,

что SS+ -t- S+S = / и SS = 0.

Если известна функция состояния Ч, то собственные значения физической величины определяются из уравнения = N, где Л-искомые собственные значения. Умножив это уравнение слева на оператор SS, получим S"SS+S¥ =

= yVS+S¥. Но = NV, следовательно, = NV.

По закону ассоциативности группируем это операторное уравнение так:

S+ (SS+) S¥ = NV. Из начального условия следует: (SS+) =J - так что

5+ {/ S+S) 5¥ = NW. Произведя умножение, получим S+/sV - =

= Поскольку SS= О, а /-единичный оператор, /S->S и S+S = NV.

Отсюда, используя = находим, что = NW, т. е. iV ->- N. Последнее

может быть выполнено в двух случаях: при N = О и N = 1.

В соответствии с принципом Паули эта ситуация соответствует состоянию фер-мионоч при заполнении ими энергетических уровней. Следовательно, для двумерного внергетического пространства матрица состояния имеет вид

/О 1\

О о, о 0\ о

Матрицы S и S+ принято называть матрицами Паули. Правильность решения можно проверить:

N = S+S.

т, е.

Затем в конце 20-х годов нашего столетия английский физик П. Дирак, создавая свой вариант квантовой теории, ввел (юнятие и интегральное преобразование дельта-функции б (х), что многим теоретикам показалось абсолютно несовместимым с принципами классической математики.

По представлению П. Дирака, дельта-функция б (х) является симметричной единичной импульсной функцией действительной переменной X. б (х) определяется условием

О при Ха<0 или Хо>Ь 0,5/(л;о) при Хо=а = b f (хо) при а < Хо < 6

\fil)m-Xo)dl =

(a<b),