ИдеапьныИ уровень

Реальный дровень

Рис. 1,2. Представление идеального и реального энергетических уровней (а) и форма и ширина спектральной линии излучения (б)

где (0) - населенность п-го возбужденного уровня в начальный момент времени / = 0. Таким образом, среднее время жизни квантовых частиц определяется величиной

Tr:m= 1Мпт= l/(2uAVA/). (1.13)

Естественная ширина линии очень мала. Поскольку она не связана ни с какими внешними воздействиями, ее искусственно уменьшить невозможно. В диапазоне излучения видимого спектра ширина такой линии составляет десятки килогерц, на сантиметровых волнах - доли герца.

Отметим также, что ширина спектральной линии определяется суммарной шириной уровней АЕ и Л£„, между которыми происходит квантовый переход, т. е. Avmn = (Afm -f AEIh- Форма линий (рис. 1.2) излучения и поглощения одинакова и описывается уравнением контура спектральной линии F (у), которое называют лоренцовой формой линии, или иногда форм-фактором:

Лоренцовая форма линии нормируется: J F (v) dv = 1. В реаль-

ных активных средах действуют различные причины, приводящие к так называемому уширению спектральной линии (кривая 2 на рис. 1.2, б), когда спектр излучения реального квантового осциллятора представляет собой полосу частот.

Одной из основных причин уширения спектральной линии является уменьшение времени жизни квантовых частиц в возбужденном состоянии под влиянием несовершенства кристаллов и неоднородности электромагнитных полей. Ширина энергетического уровня обусловлена принципом неопределенности, который утверждает, что в отличие от физического тела, положение и импульс которого строго определены, квантовая частица не может находиться в состояниях, в которых координаты ее центра инерции и импульс одновременно принимают вполне определенные, точные значения [5, 17]. Если время жизни квантовой частицы на каком-либо возбужденном энер-

гетическом уровне равно т„т, то, согласно принципу неопределенности, ширина этого энергетического уровня неопределенна (рис. 1.2, а) [5]:

AEmnh/Xnm, (1.15)

где h = ft/(2ji) = (1,0545887 ± 0,0000054) • \0~* Дж • с - постоянная Планка (квант действия).

Таким образом, ширина энергетического уровня АЕтп зависит-от времени жизни частицы в данном энергетическом состоянии. Наиболее широкими оказываются уровни, имеющие малое время жизни частицы. Чем больше величина Апт, тем меньше время жизни.

Активные среды, используемые в приборах квантовой электроники, должны иметь метастабильный уровень, обеспечивающий длительное взаимодействие с возмущающим электромагнитным полем. Метастабильные уровни имеют малую ширину. Основной энергетический уровень, характеризующийся бесконечно долгим временем жизни частиц, имеет бесконечно малую ширину энергетического уровня. Наличие уширения энергетического уровня приводит к определенному распределению мощности излучения по частоте, которое характеризуется формой линии поглощения или излучения.

Практически ширина спектральной линии значительно превышает естественную ширину линий. Например, ширина линии люминесценции конденсированной активной среды равна 10 см~, в то время как естественная ширина линии составляет всего 10~* см-. Это объясняется тем, что в реальных условиях имеют место процессы, приводящие к уширению спектральных линий. В простейшем случае к уменьшению времени жизни частиц в возбужденном состоянии приводят, например, соударения их между собой. Форма спектральной линии при этом остается прежней. Однако из-за уменьшения времени жизни ширина спектральной линии увеличивается. Такое уширение, когда форма линии остается неизменной, называется однородным. Неоднородное уширение спектральной линии, излучаемой совокупностью молекул, будет в том случае, когда каждый атом имеет свою частоту перехода. Характерным примером его является так называемое доплеровское уширение в газовых активных средах.

Вследствие того что атомы движутся в различных направлениях и с

разными скоростями и, в спектре излучения или поглощения появляется совокупность частот, определяемая доплеровским сдвигом частоты v - Vo = ± vu/c. В этом случае в условиях термодинамического равновесия форма спектральной линии описывается законом Гаусса [29]:

Gd (V) = Kin 2/п ехр [- 1п 2 (v - vo)VAvd],

а ширина доплеровски уширенной спектральной линии с учетом распределения частиц по скоростям

2fer

In 2,

(1.16)

где Т - температура. К; М = 0,911 • 10 " кг - масса электрона.

Доплеровское уширение в газовых активных средах достигает порядка 1000 МГц. Однако в твердых телах доплеровское уширение весьма незначительно, поскольку в них, в отличие от газовой среды, ионы активатора жестко связаны с кристаллической решеткой и могут в первом приближении считаться неподвижными. На рис. 1.2, 6 показаны естественная 1 и доплеровски уширенная 2 спектральные линии.

В твердых активных средах не менее важной причиной уширения являются неоднородности кристалла и тепловые колебания решетки. Чем выше температура кристалла, тем сильнее колебания. Вследствие этого ионы оказываются расположенными в переменных полях, модулирующих положение энергетических уровней и тем самым уширяющих спектральную линию. Степень теплового уширения определяется связью иона активатора с кристаллической решеткой. Это, например, наблюдается по форме спектральной линии люминесцерщии рубина при температуре 300 и 77 К. Значительная ширина линии люминесценции (330 ГГц при Г = 300 К и 10 ГГц при Т == 77 К) и конечная длина резонатора обусловливают колебания многих типов. К другим причинам уширения линий относятся эффекты Зеемана и Штарка.

Если квантовая система подвергается воздействию внешнего магнитного поля, как предсказывает теория и показывают последующие эксперименты, возможен сдвиг энергетического уровня относительно первоначального положения на величину АЕ. Тогда этот единственный уровень Е расщепится на несколько (g) различных подуровней.

Это расщепление и, следовательно, уширение энергетического уровня под воздействием магнитного поля называют эффектом Зеемана, а число различных состояний с одинаковой энергией - кратностью (степенью) вырождения уровня. Аналогично расщепление и уширение уровней под воздействием электрического поля называют эффектам Штмрка.

Глава 2. ПОСТУЛАТЫ И ПРИНЦИПЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ 2.1. Математические методы описания квантовых систем

Возникновение новой области физики - квантовой электроники - стало возможным благодаря глубокому пониманию явлений, происходящих при взаимодействии волн с электронами, входящими в состав атомов , ионов, молекул и кристаллов. Электромагнитные волны взаимодействуют с движущимися в веществе электрически заряженными микрочастицами. Микромир непосредственно для нас не наблюдаем, О движении микрочастиц можно судить по тем макроскопическим эффектам, которые они вызывают. Наукой, описывающей движение микрочастиц, является квантоваяжеханы/са, которая правильно считается трудной для восприятия наукой, методы и понятия ее далеки от наглядности. Поэтому Очень сложно рассказать о ней доходчиво и увлекательно, даже при наличии опыта педагога и исследователя в этой области знаний.

Обычно барьером для изучения квантовой механики являются ее математический аппарат и сложность восприятия порою странных и

абстрактных квантовомеханических рассуждений. Поскольку поведение квантовых частиц не похоже на наш повседневный опыт, к нему трудно привыкнуть и новичку, и опытному инженеру. Это совершенно естественно, потому что воображение человека проще воспринимает большие тела макромира.

В течение первой четверти XX в. накопились определенные теоретические и экспериментальные данные о явлениях микромира, знакомство с которыми приводило в замешательство приверженцев классической физики. Они говорили: «Что же хорошего в квантовой теории, раз она не может ответить на простейшие вопросы: почему уровни частицы дискретны? Каково точное положение частицы?» и т. д.

Ответ В. Гейзенберга (1891-1976) на недоуменные вопросы был примерно следующим: «Я не обязан отвечать на такие вопросы, ибо вы не можете их задать экспериментально».

В 1926-1930 гг. трудами Э. Шредингера, В. Гейзенберга, Н. Бора, М. Борна, Л. де Бройля, П. А. Дирака заложены фундаментальные основы квантовой механики. Им и ряду других ученых удалось получить непротиворечивое описание поведения частиц микромира и создать строгое величественное здание квантовой теории материи, которая включает в себя следующие теории: квантовую механику, квантовую статистику и квантовую теорию поля. Поясним вкратце ее основные положения.

Статистическое множество квантовых частиц называют квантовым ансамблем * микрочастиц.

Квантовая теория изучает статистические состояния ансамблей микрочастиц и направлена на решение основных проблем:

определение спектров физических величин;

вычисление вероятности наблюдения значений физически измеряемых величин в ансамбле микрочастиц;

изучение динамики движения ансамбля микрочастиц.

Принадлежность микрочастицы к тому или иному ансамблю определяется волновой функцией Y (функцией состояния) или матрицей плотности рпп- Волновая функция и матрица плотности являются функциями полного набора физических величин, который определяется природой и числом степеней свободы квантовой системы в целом.

Как и любая научная дисциплина, квантовая механика, описывая явления атомного масштаба, имеет свои постулаты. Следствия, вытекающие из постулатов, подтверждены многочисленными экспериментами. Рассмотрим постулаты квантовой механики.

1. Основным постулатом теории является уравнение Э. Шредингера (1887-1961)

Hip,q,t)W== jhdV/dt, (2.1)

где Я (р, q, t) - гамильтониан, оператор полной энергии квантовой частицы; р, q - импульс и обобщенная координата соответственно; t- время; ¥ - функция состояния; j = ]/-1 - мнимая единица.

* Набор однотипных микроскопических частиц, которые независимо друг от друга находятся в одинаковых макроскопических условиях. Ансамблем измерений является совокупность однотипных измерений, проведенных над системой, находящейся в заданном квантовом состоянии.

Это феноменологическое уравнение движения квантовой частицы микромира явилось научным предвидением и обобщением экспериментальных данных, накопленных физикой к 1926 г. Оно так же, как уравнение второго закона Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла в электродинамике, является математическим представлением фундаментальных физических процессов. Это уравнение объясняет дискретность энергетических уровней и двойственную корпуску-лярно-волновую природу излучения.

Из классической механики известно, что полная энергия физической системы Е представляет собой сумму кинетической и потенциальной V энергии и является функцией импульса и координаты:

Ег, + У Eip,q).

Такие функции в классической механике называются функциями Гамильтона, а оператор от полной энергии является гамильтонианом

<л л

и обозначается Е = Н (р, q).

Формализованная запись уравнения Шредингера базируется на других постулатах квантовой теории. Цель введения постулатов состоит в том, чтобы придать квантовым понятиям определенный физический смысл, составить и решить дифференциальные уравнения, описывающие различные явления микромира.

2. Вся информация физической системы содержится в функции состояния Физической системой является то, что подлежит изучению: электроны, нуклоны, фотоны, атом и т. п. В результате изучения физической системы получают набор действительных чисел - физически наблюдаемых (измеряемых) величин: значения координат, импульса, энергии и т. п.

В квантовой теории предполагается, что информация об этих числах, т. е. о поведении физической системы, содержится в функции W. Задача состоит в том, чтобы извлечь требуемую информацию из функции состояния Считается, что функция состояния зависит от координат частиц, составляющих систему, а также от времени. Для одной частицы W {х. у, Z, t) или = {q. t), где лг, у.г~ декартовы координаты.

На функцию Ч накладываются следующие ограничения: она должна быть в своей области определения непрерывна, однозначна и конечна. Способ извлечения инс)ормации из функции *F {q, t) устанавливается другими постулатами.

3. Каждой физической измеряемой величине (энергии, импульсу, координатам) приводится в соответствие линейный самосопряженный (эрмитов)* оператор. Под оператором понимают действие, производимое над некоторой функцией. Более строго оператор можно определить как математическое преобразование, сопоставляющее элементы одного множества с элементами другого. Оператор будем обозначать той же буквой, что и физическую величину, только над символом будем

ставить «птичку», например Е - оператор энергии. Простейшим опера-

* Эрмитов оператор самосопряженный и обозначают его крестиком, Например, физической величине L соответствует эрмитов оператор U, и т. д.

тором является оператор дифференцирования Ь = d/dx. Этот оператор ставит в соответствие каждой дифференцируемой функции / {х) ее производную/ (л:). Оператор О - У~ нелинейный, он обозначает операцию извлечения квадратного корня. В случае дифференцирования имеем дело с линейным оператором.

Впервые в прошлом столетии в практику инженерных расчетов операторы ввел О. Хевисайд [17, 26], что послужило толчком для создания современных операционных методов исчисления. Несмотря на точные результаты при расчетах громоздких электрических цепей » систем автоматического регулирования, операционное исчисление О. Хевисайда считалось математиками нестрогим н его необоснованно отвергали.

Линейным называется оператор О, для которого выполняется равенство [5]

6 (ai/i -f aj,) = aiO/i -f аД,, где Й1 и «2 - произвольные постоянные; /i и /г - произвольные функции. Легко убедиться, что оператор Z? = d/d/является линейным. Линейными также будут следующие операторы:

6 = V = Тд/дх -f Jd/dy -Ь kd/dz; О = Л = д/дх + dVdy + dVdz\ Основными в квантовой механике являются операторы координат, импульса и энергии. Оператором координаты х есть сама координата х. Этот оператор линеен, так как

Импульс р, равный количеству движения (р = mv), является вектором. Обозначим проекции вектора импульса на оси координат как Рх> Ру Рг- Этим составляющим соответствуют следующие операторы: проекции вектора импульса на ось л; - оператор - jhd/dx, на ось у

-jhd/dy, на ось г -> - jhd/dz.

Часто оператор обозначают той же буквой, что и физическую величину, к которой он относится. Например, оператор проекции импуль-са на ось х обозначают Рх ~ - jfidldx. Оператор полного импульса р является вектором, как и сам импульс.

Обозначим орты вдоль осей х, у z буквами /, /, к. Тогда р = ~ iPx + iPy + kpi. Отсюда оператор импульса

p = - jh (id/dx -Ь 7д/ду + kd/dz) = - jtiV. Теперь найдем оператор энергии Е. Оператор полной энергии проще определить почленно, т. е. представить в виде £" = е„ -f К. Кинетическая энергия зависит от массы т и квадрата импульса следующим