излучает или поглощает электромагнитные волны определенными порциями - квантами энергии (фотонами hvmn)- Частоты электромагнитных волн при квантовых переходах определяются вторым постулатом Н. Бора (1885-1962), который впервые был сформулирован в 1913 г.:

Vnm = (En - EJ/h,

hVnm = {En-EJAE.

(1.8)

Равенство (1.8) по существу дуалистично, ибо оно связывает волновые (v„m) и квантовые {АЕ = hvnm - энергия фотона) свойства излучения. Этот постулат утверждает закон сохранения энергии при излучении и поглощении фотонов - квантовых частиц микромира. При поглощении фотона hvnm энергия атома увеличивается на эту величину и совершается квантовый переход атома с нижнего уровня энергии Е на верхний Е, а при излучении фотона hvnm совершается квантовый переход атома на нижний уровень Е с частотой v„m (рис. 1.1, б).

Частотный спектр - набор частот электромагнитных волн, излучаемых или поглощаемых атомами вещества, тесно связан с энергетическим спектром атомов, поэтому дискретностью энергетического спектра объясняется линейчатый характер спектров поглощения или излучения электромагнитных волн атомами.

Следовательно, описание этих физических процессов базируется как на волновых, так и на квантовых представлениях.

Допустим, что в данный момент времени атом находится в одном из возбужденных состояний Е. Такое состояние атома неустойчиво. Поэтому через очень короткое время атом без какой-либо связи с внешним излучением перейдет в одно из состояний с меньшей энергией Е, что по закону сохранения энергии приведет к увеличению электромагнитного поля на величину hvnm.

Самопроизвольный (спонтанный) квантовый переход - явление случайное во времени и пространстве. Предсказать его точно невозможно, можно говорить лишь о вероятности спонтанного квантового перехода из состонння в состояние в единицу времени.

Строго говоря, речь идет о скорости изменения населенности квантовыми частицами уровня Е при спонтанных переходах, так как размерность величины Лпт

есть обратное время.

Количество квантовых частиц в 1 см вещества, находящихся на данном энер -гетическом уровне, называется населенностью уровня N.

Если рассматривается большое число квантовых частиц N„ на уровне Еп в единице объема вещества, то полное число спонтанных переходов в единицу времени с уровня £„ на уровень Е равно М„Апт, а излученная мощность при этих переходах будет равна (Е -

Существенно, что вероятность спонтанного перехода Ат относится к единице времени. Поэтому она может принимать значения от О до с», в отличие от математической вероятности, изменяющейся от О до 1.

Спонтанное излучение испускается множеством независимых невзаимодействующих друг с другом атомов, вследствие чего оно некогерентно, немонохроматично.

Из-за случайного характера спонтанных переходов излучение всех обычных источников света - Солнца, газоразрядных ламп накаливания и т. д.- является немонохроматичным, некогерентным и непо-ляризованньш. Однако атом может перейти на уровень Е„ не только самопроизвольно, но и под воздействием внешнего поля, если только частота электромагнитной волны близка к частоте перехода атома Vnm - {En - E)lh. Такая резонансная волна как бы ускоряет переход атома на уровень с меньшей энергией.

Квантовые переходы, происходящие под воздействием внешнего электромагнитного поля, называются вынужденными (индуцированными).

Вынужденные переходы возможны и при резонансном поглощении фотонов hvmn на возбужденные уровни энергии. Как и спонтанное излучение, вынужденное излучение и поглощение в веществе являются вероятностными процессами. При вынужденном излучении число фотонов Znm, излученных в 1 см вещества за 1 с, пропорционально населенности Nn верхнего уровня и спектральной плотности энергии излучения pv:

Znm = BnmnPv = WnmNn-

Впервые и задолго до завершения квантовой теории проблему излучения квантовых систем рассмотрел А. Эйнштейн. Он ввел коэффициенты Апт, Впт, характеризующие спонтанные и вынужденные переходы. Эти коэффициенты связаны между собой соотношениями

А -

-тп -

Втп =

где gn, gm - кратность вырождения уровней (число различных состояний системы на определенном уровне энергии).

Рассмотрим два уровня с энергиями £„ и Е, причем Е > Е. Пусть число частиц, находящихся в каждом из этих энергетических состояний, равно соответственно и Если квантовая система находится под воздействием внешнего электромагнитного поля, то в ней возможны три процесса: вынужденное поглощение с вероятностью в единицу времени Wnm, вынужденное излучение с вероятностью Wnm, спонтанное излучение, вероятность которого в единицу времени обозначим А„гп- Поскольку вероятность индуцированного перехода пропорциональна спектральной плотности энергии излучения {Wnm = = BnmPv), А. Эйнштейн показал, что если

+ NnBnmPv = NmBmn9v<

Pv =

так как распределение Больцмаиа

I hv \

Лт = Л/„ехр

и Втп = Вп

А -

8яу%

где - вероятность излучения (поглощения) в единицу времени при единичной плотности излучения Pv = I. При = g„ = 1 можно получить формулу спектральной плотности энергии излучения Планка

Pv =

(fl exp [hv/{kT)] - 1

В этой формуле коэффициент 8nv/c определяет число колебаний (осцилляторов) в единице объема и в единичном интервале частоты для свободного пространства; {ехр lhv/{kT)]- - среднее число фотонов на одно колебание квазимонохроматического излучения; hv - энергия одного фотона.

Следовательно, с увеличением частоты вероятность спонтанного перехода резко возрастает. Например, при переходе от сантиметровых волн (Я, = 5 см) к видимой области спектра (X. = 0,5 мкм) вероятность спонтанного излучения увеличивается в 10" раз. Отметим, что при hv kT система вырождается в квантовомеханическую, а при hv < kT - является классической механической системой.

Не все мыслимые квантовые переходы возможны, некоторые из них разрешены, а некоторые запрещены. В квантовой механике существуют правила отбора, которые регламентируют возможные квантовые переходы, т. е. определяют возможность квантового перехода из одного энергетического состояния в другое. Запрещенные и разрешенные переходы определяются вероятностью перехода.

Уровень, с которого правилами отбора переходы запрещены и который, будучи когда-либо возбужден, может существовать длительное время, называется мета-стабильным.

Более строго вероятность вынужденного перехода между уровнями и £„ пропорциональна квадрату модуля матричного элемента jDmn I электрического дипольного момента *. Если матричный элемент не равен нулю, переход между уровнями Е„ и Е„ является разрешенным, если же Dmn = 0 - переход будет запрещенным. Условие Dmn = О, однако, не означает, что никаких переходов между уровнями Е„ и £„ не происходит, так как формулы для определения вероятностей перехода - приближенные. Они были получены в предположении, что cos {(oi - kz) при Я а можно заменить функцией cos со/, т. е. в длинноволновом приближении. Действительно, величина ka - 2ла/Х » » 10 (а = 10 см - размер атома) для видимой части спектра весьма мала, а взаимодействием системы с магнитным полем можно пренебречь.

Учет взаимодействия с магнитным полем и более тщательный расчет показывают, что вероятность перехода может быть не равной нулю, если даже Dmn = 0. Таким образом, если Dmn = О, то можно говорить о запрете на переходы лишь в электрическом дипольном приближении.

* Квантовомеханическая величина Ъ = Тг, характеризующая изменение электрических свойств микрочастицы при разрешенном переходе с излучением, зависит от г ~ среднего расстояния между частицами диполя.

Отметим, что в колебательных спектрах молекул наблюдаются квантовые переходы с нарушением правил отбора. Однако вероятность таких переходов весьма мала. Обычно под запрещенными подразумевают такие переходы, вероятность которых на порядок меньше вероятности переходов, разрешенных правилами отбора.

Существуют и другие приближения, в которых разрешены квантовые переходы: квадрупольные, магнитные, безызлучательные и т. д. Для понимания принципа работы лазеров важнейшими из них являются безызлучательные переходы, при которых квантовые частицы отдают или получают энергию без излучения фотонов, взаимодействуя с другими системами (столкновение частиц, соударения и т. д.). Они также характеризуются вероятностными величинами. Вероятностью безызлучательного перехода Snm является среднее число актов отдачи или получения квантов энергии одной частицей в единицу времени.

Если возможны квантовые переходы с излучением и без излучения, то полная вероятность квантовых переходов равна сумме вероятностей:

(1.9)

где Wnm = BnmPv

Перейдем теперь к лазерной активной среде, в которой есть два возбужденных уровня Е„и ЕтС населенностями и Nm-

Если иаселеиность iV„ уровня больше иаселеииости уровня Е, распо-ложеиного ниже (iV„ > iV), то такую среду называют активной.

При воздействии внешнего электромагнитного поля пролет фотонов через активную среду вызывает вынужденное излучение все новых и новых фотонов. Если количество актов излучения превышает количество актов поглощения, то происходит лавинообразное увеличение потока фотонов. Нарастание интенсивности потока по длине активной среды подчиняется экспоненциальному закону:

4 =/о ехр (G2), (1.10)

когда интенсивность вынужденного излучения возрастает в активной среде в е раз на расстоянии г = 1/G (размерность см-), где G са

~ ~lic-57" - гп) I Dmn Р - коэффициент квантового усиления [13].

Величина - - называемая инверсия населенностей уров-

ней (обращение населенностей уровней активной среды), т. е. такое соотиошеиие между населенностями рассматриваемой пары энергетических уровней активной среды, при котором количество кваитовых частиц иа верхнем уровне больше, чем на нижнем.

В естественных условиях, согласно закону Больцмана,нижние уровни заселены квантовыми частицами более плотно, т. е. в условиях термодинамического равновесия при любой температуре состояние с более низкой энергией должно иметь большую населенность, чем состояние с более высокой энергией, так что [13]

(1.11)

Поэтому, чтобы получить усиление вынужденного излучения, необходимо искусственно увеличить населенность верхнего или уменьшить населенность нижнего уровня, т. е. инвертировать населенности активной среды.

Неравновесное состояние системы, для которого имеет место инверсия населенностей уровней, в литературе часто называется состоянием с отрицательной температурой. Этот термин эквивалентен термину «инверсия населенностей». Если не будет притока энергии извне, система быстро перейдет в равновесное состояние с положительной температурой за счет спонтанного излучения. В состоянии с отрицательной температурой система имеет запас энергии, который она может излучать в виде электромагнитных волн. Именно на этом явлении основан принцип работы квантовых приборов.

Долгие годы получение инверсного состояния вещества представляло основную проблему квантовой электроники, которая почти до начала 50-х годов нашего столетия не была разрешена. Основные трудности решения этой проблемы заключались в следующем.

В активном веществе, т. е. среде с инверсией населенностей, имеет место явление релаксации - процесс установления теплового равновесия, если равновесное состояние среды нарушено. Всякие попытки нарушить тепловое равновесие встречают противодействие, так как тепловое движение частиц стремится вернуть систему в исходное равновесное состояние, т. е. восстановить распределение Больцмаиа. Другими сдерживающими факторами получения инверсии населенностей являются эффект насьацения, т. е. уменьшение интенсивности спектральной линии поглощения, и наличие различного рода потерь электромагнитной энергии в активной среде.

По мере увеличения мощности внешнего электромагнитного поля вероятности вынужденных переходов Wnm = B„mPv значительно превышают вероятности релаксационных переходов и распределение Больцмаиа нарушается. Инверсия населенностей становится неравной нулю, т. е. ЛЛ - N„ - iV Ф 0. Поглощенная энергия стремится при этом к некоторому пределу, определяемому скоростью релаксации, с которой возбужденные квантовые частицы могут отдавать свою энергию окружающему пространству. Можно предположить, что канал передачи энергии имеет ограниченную пропускную способность, изменение интенсивности спектральной линии поглощения уменьшается - линия насыщается.

Этот процесс играет большую роль в квантовой электронике, так как он ограничивает коэффициент квантового усиления в оптических квантовых усилителях и амплитуду колебаний в квантовых генераторах. В этом случае интенсивность нарастания потока фотонов по длине активной среды уже равна

/,= /oexp[(G-M2l, (1.12)

где Ps - суммарные потери энергии в среде.

Таким образом, чтобы получить вынужденное излучение, необходимо выполнить следующие условия:

1) иметь вещество с разделенными уровнями энергии;

AE = En~E==hvn

2) иметь возможность создавать в этом веществе инверсию населенностей и квантовые переходы между двумя соседними уровнями энергии (получить инвертированную среду)

AN = N„-N„,>0;

3) добиться, чтобы в этой активной среде коэффициент квантового усиления превышал все возможные суммарные потери энергии в среде

(G>N-

1.3. Форма и шнрина спектральной лннии

Как мы уже выяснили, одной из важнейших характеристик излучения является его спектр, т. е. набор монохроматических волн, образующих излучаемое электромагнитное поле. Монохроматическая волна - это идеализация, строго монохроматических колебаний нет. Каждая реальная волна лазера является квазимонохроматической, т. е. представляет собой вид колебаний электромагнитного поля со средней (центральной) частотой Vq = Wf,/(2n) и некоторой шириной спектра Avn- Такие волны обладают ограниченным узкополосным спектром, который иногда может состоять из нескольких монохроматических составляющих.

В соответствии с постулатом Бора vi = (En - спектр

излучения идеального гармонического осциллятора должен представлять собой бесконечно тонкую спектральную линию, так- как ширина энергетических уровней в этом соотношении не обусловлена, а подразумевается бесконечно тонкой. Фактически уровни энергии обладают конечной шириной. Поэтому излучение происходит в некотором интервале частот около Vq. На частоте Vo энергия излучения имеет наибольшее значение и убывает на частотах, отстоящих по обе стороны от нее.

Частотный интервал, в пределах которого интенсивность излучения илн по-глощення убывает вдвое по сравнению с максимальным значением, называется шириной спектральной линии \Vj. Шнрина спектральной лнннн, определяемая

спонтанными переходами, является естественной шириной:

Av = А/{2п),

где Л„т = I/Tfim-вероятность спонтанного перехода - величина, обратно пропорциональная среднему времени пребывания частиц на возбужденном энергетическом уровне, т. е. времени, за которое населенность этого возбужденного уровня убывает в е = 2,7 раза.

С естественной шириной спектральной линии очень тесно связано другое важное понятие квантовой механики Хпт - время жизни квантовой частицы на возбужденном уровне. Число частиц, спонтанно покидающих возбужденный энергетический уровень за интервал времени dt, определяется уравнением

dN„ (t) = - AnmNn (0) dt, или dNn {t)/Nn (0) = - Anmdt.

Отсюда

Nnit) = Nn(0) e-""= (0) e-