dTO правило теориг; вероятностей в совершенно равной степени относится как к чисто случайным погрешностям, так и к систематическим погрешностям, возникающим от случайного изменения влияющих факторов. Так, например, погрешности измерительных преобразователей от изменения их температуры хорошо воспроизводя ся от опыта к опыту и поэтому обычно классифицируются как систематические. Однако при суммировании температурных погрешностей ряда преобразователей они могут оказаться как коррелированными, так и некоррелированными между собой и складываться как алгебраически, так и геометрически.

Практические правила определения результирующей погрешности сложных измерительных устройств.

1. Для определения значения оценки результирующей погрешности всего измерительного устройства должны учитываться взаимные корреляционные связи различных составляющих погрешности отдельных преобразователей, поэтому исходными данными для более точного расчета должны служить значения соответствующих оценок именно отдельных составляющих, а не значение оценки суммарных погрешностей преобразователей.

Эти составляющие прежде всего разделяются на аддитивные и мультипликативные для их последующего раздельного суммирования.

2. Так как суммировать с учетом корреляционных связей можно лишь средние квадратические значения составляющих, то для каждой составляющей должны быть по исходным данным найдены ее средние квадратические значения.

3. Далее должны быть выделены группы сильно коррелированных между собой составляющих погрешности и внутри этих групп произведено алгебраическое суммирование. К ним, как правило, относят погрешности, вызванные одной общей причиной (общий источник питания, примерно одинаковые изменения температуры и т. д.), когда тесные корреляционные связи определяются логически, и для них принимают р равным -f 1 или -1. Погрешности же, между которыми такие взаимосвязи не обнаруживаются, относят к некоррелированным и для них принимают р = 0.

4. После того как все группы сильно коррелированных погрешностей выделены и внутри их произведено алгебраическое суммирование, суммарные по группам и оставшиеся вне группы погрешности можно считать уже некоррелированными и складывать по правилу <T = 2:of.

Таким образом, находятся лишь средние квадратические значения аддитивной и мультипликативной составляющих результирующей пог грешности, которые не учитывают деформации законов распределения при образовании композиций, и остаются неизвестными параметры формы закона распределения результирующей погрешности.

Расчетное суммирование погрешностей с определением параметров формы образующихся композиций. Наиболее полным методом расчетного суммирования погрешностей является определение при суммировании не только среднего квадратического значения результирующей погрешности, но и параметров формы образующейся композиции

распределений в виде оценок значений ее контрэксцесса к и энтропийного коэффициента к.

Полагая распределения двух суммируемых случайных погрешностей симметричными и центрированными (т. е. Х = О, [ii = О и [ig = 0), четвертый момент композиции можно найти как

Тогда

a + ai af+gj

Таким образом, для определения контрэксцесса распределения суммарной погрешности необходимы данные о значениях контрэксцесса 1 и 2 суммируемых распределений и их с. к. о. Oi и 02- Следует заметить, что не зависит от самих значений и О2. а определяется лишь их соотношением. Поэтому вместо о и Оа в формулу для кх, можно ввести относительный вес р дисперсии о в суммарной дисперсии al + о:

а?,

• /-а! + (т

тогда

1 -

Задача определения энтропийного коэффициента композиции некоррелированных погрешностей по энтропийным коэффициентам и относительным весам каждой из дисперсий в суммарной дисперсии достаточно сложна. Однако в ряде опубликованных работ [10] эта задача решена для композиций всех рассмотренных выше видов законов распределения. Результаты этих решений удобнее всего представить в виде графиков (рис. 1-9), где по оси абсцисс отложены значения р = ol/(<Ti + ol), т. е. относительный вес дисперсии al - второго из двух суммируемых слагаемых - в суммарной дисперсии (of + ai), а по оси ординат - значения энтропийного коэффициента k образующейся при этом композиции.

На рис. 1-9, а кривая / соответствует суммированию двух погрешностей с арксинусоидальными распределениями, кривая 2 - с арксинусоидальным и равномерным, кривая 3 - двух равномерно распределенных погрешностей, кривая 4 - с равномерным и нормальным и кривая 5 - „вух нормально распределенных погрешностей. На рис. 1-9, б кривые 1, 2 п 3 соответствуют суммированию погрешностей с равномерным, треугольным и нормальным распределением с погрешностью с дискретным двузначным распределением, а кривые 4, 5 и 6 - суммированию погрешности с нормальным распределением соответственно с гюгрешцостями с арксинусоидальным, равномерным и экспоненциальным распределением.

Несмотря на то что кривые рис. 1-9 построены только для нескольких видов "законов распределения, их сетка настолько густа, что

позволяет на глаз интерполировать значения к для композиции любых законов распределения с известным энтропийным коэффициентом, тем более, что значения энтропийного коэффициента точнее чем до 0,1 (т. е. примерно 5%) уточнять не имеет смысла.

Суммирование доверительных значений погрешностей. Преимущество доверительного значения погрешностей состоит в том, что оно в отличие от среднего квадратического (которое не существует для распределений Коши и близких к нему) и энтропийного (которое не существует для двузначного дискретного распределения и близких к нему) существует для любых законов распределений.

Основной недостаток доверительного значения погрешности состоит в невозможности его расчетного определения для суммы нескольких погрешностей по известным значениям составляющих.

2,066 2,0

1,8 1,73

1,6 1А

Х2 1,11

2,0662,066 2,0

1,11

О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Рис. 1-9

Однако из этого правила есть одно счастливое исключение. Оказывается, что интегральные кривые для широкого класса симметричных высокоэнтропийных [k>\,7) распределений: равномерного, треугольного, трапецеидальных, нормального, экспоненциальных (с а 2>; 2/3) и двухмодальных с небольшой глубиной антимодальности (с = = ala <i 1,5) - в районе 0,05-й и 0,95-й квантилей (рис. 1-10) пересекаются между собой в очень узком интервале значений х1а = 1,6 ± ± 0,05. Поэтому с погрешностью 0,05о можно считать, что 0,05-я и 0,95-я квантили для любых из этих распределений могут быть определены как

о,о5 = т-1,6о и Хо,95 = mН-1,6о,

где га - координата центра распределения. Отсюда значение погрешности, определенное как Ао,9 = 1,6о, для любых из этих распределений является погрешностью с 90%-ной доверительной вероятностью.

Так как при суммировании погрешностей любого сочетания распределений этого класса результирующее распределение также будек принадлежать этому классу, то и для него справедливо соотношение До,в2: = 1,602-

Это обстоятельство открывает возможность очень простого расчетного метода суммирования погрешностей. Так, если заданы значения