Погрешности от квантования распределены по равномерному закону, так как погрешностей больше + Д и меньше -А не встречается, а внутри этого интервала они равновероятны. Таково же распределение погрешностей и от трения - внутри зоны застоя подвижная часть может с равной вероятностью остановиться в любом положении.

Погрешность градуировки. Погрешности, допускаемые в процессе градуировки, для каждого проградуированного деления остаются впоследствии неизменными, т. е. являются систематическими. Однако по совокупности всех делений шкалы они являются случайными, так как для различных делений могут быть как положительными, так и отрицательными и равными нулю. Распределение погрешности градуировки было изучено доц. 3. Таушановым (Варна, Болгария) для при-

-30 -20 -10 О 10 20 30 "С 110 115

Рис 1.-8

125 В

боров, изготовленных в ГДР, ЧССР, СССР и НРБ. Закон распределения этих погрешностей оказался одним и тем же. Он имеет вид, показанный на рис. 1-5, в, ск = 0,72 п k - 1,87, что соответствует распределению вида

/5(л;)=Ле-11"

с а = 7 или композиции равномерного и экспоненциального (с ос = = 0,5) распределений с 0р„™ = 5о„.

Распределение дополнительных погрешностей от влияющих факторов определяется распределением значений самого этого фактора и значением коэффициента влияния. Так как функции влияния принимаются, как правило, линейными, а коэффициенты влияния - постоянными, то распределение дополнительной погрешности А как неслучайной (систематической) линейной функции случайного аргумента X повторяет с масштабом (по оси А = Чл;) в виде коэффициента влияния W закон распределения вероятностей влияющей величины х.

Погрешность от температуры для приборов, работающих в цеховых или лабораторных условиях при односменной работе, определяется кривой циклического изменения температуры 0° (t). За ночь помещение остьшает, например, до +18 °С, а за рабочий день нагревается до +24 °С. Поэтому распределение температуры оказывается равномерным, например, с математическим ожиданием в = +21 °С и максимальным значением отклонения А = ±3 "С. Умножая эти значения на соответствующий коэффициент влияния, получаем параметры

распределения возникающей в этих условиях температурной погрешности.

При работе приборов вне помещений такое же влияние имеет распределение температур атмосферного воздуха. Распределение этих температур согласно ГОСТ 16350-70 имеет вид несколько асимметричной кривой (рис. 1-8, а) с двумя максимумами. Энтропийный коэффициент этого распределения в среднем равен k = 1,95, а энтропийное значение отклонений от математического ожидания для европей-; ской части СССР устойчиво сохраняется равным 20 °С ±(1 2) °С.

Распределение погрешности от колебаний напряжения питания повторяет распределение вероятностей колебаний питающего напряжения с учетом соответствующего коэффициента влияния. Экспери--ментально определенное распределение вероятностей значения напряжения сети Ленэнерго приведено на рис. 1-8, б. Оно может быть приближенно принято треугольным.

1-6. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СУММИРОВАНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Задача определения расчетным путем значения результирующей погрешности по известным значениям ряда ее составляющих, называемая обычно задачей суммирования погрешностей, возникает во многих случаях практики. Так, для определения погрешности отдельного измерительного преобразователя необходимо найти результат суммарного действия отдельных составляющих его погрешности. Определение погрешности прибора или канала информационно-измерительной системы (ИИС) также сводится к определению суммарного действия погрешностей всех его преобразователей. Таким образом, задача суммирования погрешностей - это одна из основных задач как при проектировании средств измерений, так и при постановке и проведении измерений.

Трудность проведения такого суммирования заключается в том, что все составляющие погрешности в общем случае должны рассматриваться как случайные величины, принимающие в каждой частной реализации самые разнообразные значения. С точки зрения теории вероятностей они могут быть описаны своими законами распределения, а их совместное действие - соответствующим многомерным законом распределения. В такой постановке эта задача практически не разрешима уже для 3-4 составляющих (не говоря уже о 30-40 составляющих), так как операции с такими многомерными законами непреодолимо сложны. Поэтому задача состоит в том, чтобы подобрать для характеристики составляющих такие числовые оценки (напри-мер, среднее квадратическое значение, контрэксцесс, энтропийный коэффициент и т. д.), оперируя с которыми, можно было бы найти соответствующие числовые оценки результирующей погрешности без определения многомерных или результирующих одномерных законов распределения рассматриваемых случайных величин.

При этом необходимо учитывать следующее: а) числовые характеристики законов распределения составляющих (например, о и k) могут не оставаться постоянными при изменении HSMepneNroft величины.

т. е. могут изменяться в диапазоне ее изменения; о) отдельные составляющие погрешности могут быть коррелированы между собой и в) при суммировании случайных величин законы их распределения резко деформируются.

Первое из этих обстоятельств требует разделения рассматриваемых составляющих на аддитивные и мультипликативные, суммирование которых производится раздельно для определения соответственно аддитивной и мультипликативной составляющих результирующей погрешности.

Второе обстоятельство, т. е. возможность взаимных корреляционных связей составляющих, учитывается путем использования для характеристики суммируемых составляющих погрешности их числовых оценок в виде среднего квадратического значения и коэффициентов взаимной корреляции.

Третье обстоятельство, т. е. деформация формы законов распределения при суммировании случайных величин, не может быть учтено при использовании оценки погрешности в виде ее среднего квадратического значения, так как эта оценка не отражает деформации формы законов распределения. Это может быть сделано путем определения параметров формы образующейся композиции и будет рассмотрено ниже. •

Дисперсия суммы коррелированных и некоррелированных величин. Согласно теории вероятностей дисперсия суммы двух величин в общем случае

D{x + y) = D{x) + D(y) + 2ky,

где D (х) - дисперсия х; D (у) - дисперсия у, kxy = pa (л;) а (у) - их взаимный корреляционный момент. Отсюда среднее квадратическое значение 02 отклонения суммы этих величин от ее математического ожидания

где р - коэффициент корреляции. Если эти величины между собой

некоррелированы, то р = О и 02 =У 0i+ 0.2-

Однако если л; и г/ жестко и положительно (р = +1) коррелированы между собой, т. е. А принимает значения, лишь строго пропорциональные Дх, то всякое положительное отклонение -ЬДл; сопровождается также положительным отклонением + Ду и отклонение Д (х -Ь у) складывается как Дх + А г/. Это формально следует и из формулы для

02 при р = +1, ибо Ох ==-f + 20102 + ol = 01 + 0-2.

Если же при возрастании х значения у, наоборот, линейно убывают, то р = -1 и

0S = + - 20102 + = I Ol - 02 I-

Таким образом, оценки жестко коррелированных погрешностей (p=dzl) должны суммироваться не геометрически, а алгебраически с учетом их знаков, т. е. складываться, когда их знаки совпадают, и вычитаться, когда их знаки оказываются противоположными.