энтропийным коэффициентом k - 2,066 и к = 1/}/3 = 0,577. В координатах рис. 1-3 нормальный закон характеризуется точкой 4. При а, равном 1; 2/3; 1/2; 1/3, эти законы

/7(х)=е-1-1;

имеют вид, показанный на рис. 1-5, а, и характеризуются на рис. 1-3 соответственно точками 5, б, 7 и 6 с координатами k - 1,92; 1,64; 1,35 и 0,83 и к = 0,408; 0,286; 0,2; 0,094.

Композиции равномерного распределения с симметричными экспоненциальными распределениями. Равномерное распределение является безмодальным и характеризуется постоянной плотностью р {х) - - 1/(2Д) в интервале от -А до -f А и /? (л;) = О вне этого интервала (рис. 1-5, г). Его дисперсия D == А/З и о = YD = A/j/3. Его четвертый момент р,4 = А/5 и контрэксцесс к = o/l/p, = у"5/3 ?а 0,745.

-а 0+а

-а 0+а Рис. 1-6

-а О+а

Энтропия этого распределения Н {X) = In 2А, энтропийное значение погрешности равно А и энтропийный коэффициент k = А/о = /3 = = 1,73. Поэтому на рис. 1-3 этому распределению соответствует точка 9 с координатами у. = 0,745 w k - 1,73.

Композиции равномерного распределения с экспоненциальными имеют вид «шапо» (рис. 1-5, в) с различной крутизной спадов и располагаются на рис. 1-3 на кривых, соединяющих точку 9 равномерного распределения с точками 4, 5, 6, 7, 8 экспоненциальных распределений. Эти кривые пересекают верхнюю часть области реальных распределений, и поэтому соответствующие им композиции могут служить удобными математическими моделями для реальных распределений погрешностей с й > 1,85. Однако для распределений с й < 1,85 эти модели принципиально непригодны.

Композиции экспоненциальных распределений и дискретного двузначного распределения при различных соотношениях между полуразмахом Ад = а дискретного и с. к. о. о экспоненциального распределений имеют вид кривых на рис. 1-6, т. е. являются двухмодальными. Геомегрическим местом точек, соответствующим этим распределениям на рис. 1-3, являются кривые, соединяющие точку /, соответствую-•щую дискретному двузначному распределению, с точками 4, 5, 6, 7,. 8, соответствующими экспоненциальным распределениям. Эти

кривые на рис. 1-3 помечены значениями показателя степени а соот-ретствуюилих экспоненциальных распределений, являющегося характеристикой крутизны спадов.

. Относптельное содержание дискретной составляющей удобно характеризовать отношением с = а/а, называемым глубиной антимодальности (линии равных с также нанесены на рис. 1-3). Композиции дискретного двузначного и экспоненциальных распределений являются удобными моделями для распределений с k <. \ ,85.

Частные законы распределения, занимающие в отличие от рассмотренных небольшие участки на рис. 1-3, - это трапецеидальные и арксинусоидальные распределения.

Как известно, композиция двух равномерных распределений представляет собой трапецию. Если ширина каждого из равномерных распределений равна а, то трапеция превращается в треугольник (распре-

р(х)

р(х)

Ci=7C2 Ci = 3C2 Ci=C2 = C

Рис. 1-7

деление Симпсона). Дисперсия такого распределения D = а/б; о = = а/Уб, его четвертый момент = аЧ\Ъ и контрэксцесс к = 0,646; энтропия этого распределения Н (X) = In аУ"е и энтропийный коэффициент k = ytel2 2,02.

В координатах рис. 1-3 этому распределению соответствует точка 10 с k = 2,02 и к = 0,646. Поэтому все трапецеидальные распределения, являющиеся промежуточными между равномерным и треугольным распределениями, располагаются на рис. 1-3 на кривой, соединяющей точки 9 и 10.

Согласно арксинусоидальному закону (рис. 1-7, а) распределены мгновенные значения синусоидального напряжения (например, помеха от синусоидальной наводки на вход прибора), если считать, что моменты времени, в которые производятся отсчеты, распределены.равномерно по времени. При амплитуде синусоиды Um арксинусоидаль-ное распределение записывается как

р{и)

nUm COS arcsin

Среднее квадратическое (действующее) значение синусоиды обще-известно и равно а = UJY2, четвертый момент [i, = -3- [/ и к «<

R! 0,816; энтропийное значение Д = fm и энтропийный коэффициенте = jt/(2/2) ~ 1,11. Поэтому на рис. 1-3 этому распределению соответствует точка с = 1,11 и к = 0,816.

При искаженной форме кривой, например при наличии небольшой составляющей в виде 3-й или 6-й гармоники,, распределение представляет собой композицию двух арксинусоидальных распределений ({зис. 1-7, б). В зависимости от соотношения и Cg - ширины составляющих - оно принимает вид кривых на рис. 1-7, б, в, г. При = (рис. 1-7, г) эта композиция имеет k = 1,88 и к = 0,667, т. е. характеризуется на рис. 1-3 точкой 12. Поэтому все промежуточные композиции (рис. 1-7) располагаются на рис. 1-3 по кривой, соединяющей точки и и 12.

Топографическая классификация распределений (см. рис. 1-3) позволяет заключить, что основными разновидностями законов распределения случайных погрешностей являются: уплощенные распределения типа «шапо», занимающие пространство между точками 5, 4, 10 VI 9 яг. рис. 1-3 при k> 1,85, экспоненциальные (линия 6-5-4), нормальное (точка 4) и трапецеидальные (линия 10-9) распределения, располагающиеся на границе этой области, а также двухмодальные распределения, занимающие пространство штрихового овала между точками 6 я 9 при k от 1,2 до 1,85. Что же касается распределений Стьюдента (линия 3-4) или так называемых антимодальных распределений с k= 1,16, к = 0,87 W k = 0,35, -а = 0,92 (точки 13 и 14 на рис. 1-3), введенных ГОСТ 8.011-72, то они непригодны для описания реально встречающихся распределений.

Классификация позволяет наглядно видеть близость или удаленность законов менеду собой. Так, нормальный (4) и треугольный {10) законы достаточно близки, а экспоненциальные (5 или 6) и равномерный (9) - далеки друг от друга и т. д. И, наконец, классификация дает возможность установить вид распределения чисто формальным путем - путем вычисления на ЭВМ по экспериментальным данным оценок кики нанесения точки с этими координатами на график рис. 1-3.

1-5. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОТДЕЛЬНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ

Эти законы еще мало изучены, поэтому укажем распределения лишь для тех погрешностей, для которых они известны.

Погрешность от зазора в кинематической цепи распределена по дискретному двузначному закону (см. рис. 1-4, а), так как принимает лишь значения -fa и -а. Погрешность от гистерезиса в общем случае отличается от погрешности от зазора в кинематической цепи тем, что сосредоточение погрешностей вокруг -\-а и -а может быть более или менее размытым и распределение погрещности приобретает вид кривых на рис. 1-6.

Погрешность от наводки синусоидального напряжения распределена по арксинусоидальному закону (рис. 1-7, а).