Дискретное двузначное распределение вида р (х) б(а) + у fi (-а) показано на рнс. 1-4, а и состоит из двух б-функций при х = а н

О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 С,Б 0,7 0.8 0,9 1,0 Рис. 1-3

X - -а, под каждой из которых заключена площадь, т. е. вероятность Pi = Pg = 0,5. Это такое распределение, когда наблюдаются лишь равновероятные погрешности +а и -а.

р(х)

-о о +а г

Рис. 1-4

Такое распределение легко оценивается вероятностными критериями, для него а = а, D = а. Hi = a и к = I. Однако его энтропия Я = In 2 не зависит от а, и его энтропийный коэффициент при возрастании а стремится к нулю. Поэтому соответствующая ему точ-

ка / на рис. 1-3 занимает крайнее правое положение с координатами = О и к = 1.

Семейство законов распределения Стьюдента описывает плотность распределения значений среднего арифметического, найденного из п реализаций, случайно выбранных из нормально распределенной генеральной совокупности, и в центрированном и нормированном виде описывается выражением

K/r(i)(l + f)

где f = п - 1 - так называемое число степеней свободы, а Г (z) - гамма-функция.

Распределение Стьюдента при п = 2 (/ = 1) получает вид

р{х)

или В более общем случае (при тфО)

р{х) = -

1 I (x-mf

где т - координата центра распределения, га - параметр, определяющий ширину распределения. Это распределение носит наименование распределения Коши (рис. 1-4, б). Распределению Коши подчи няется, например, отношение двух нормально распределенных центрированных величин. Экстремальность распределения Коши состоит в то.м, что обычный аппарат теории вероятностей не позволяет определить его параметры - интегралы, определяющие дисперсию D и четвертый момент р, расходятся, т. е. дают для D* и р значения,

стремящиеся к бесконечности, а их отношение в виде к = DlYvi стремится к нулю. Интеграл же, определяющий энтропию, продолжает сходиться, давая значение Н (X) = In (4na) и = 2па. Таким образом, для распределений вида, показанного на рис. 1-4, б, могут быть использованы лишь энтропийные и доверительные оценки, в то время как а->-оо и не имеет смысла. Вследствие а-оо энтропийный коэффициент этого распределения равен нулю и соответствующая ему точка 2 на рис. 1-3 имеет координаты х = О и ft = 0.

Для нормированных распределений Стьюдента с / 4 справедливы соотношения:

a-l/- еЖ 3(,t-l).

/-4 . 4-6кг - У 3(/-2) 1" 1-Зк2 •

а изменение ft и к в зависимости от / имеет следующий вид:

Таким образом, точки, соответствующие распределениям Стью-дента до / 4, располагаются на рис. 1-3 иа оси при к = О, а при / от 4 до бесконечности - по кривой, соединяющей точки 5 и 4. При / = оо распределение Стьюдента совпадает с нормальным распределением Гаусса, которому на рис. 1-3 соответствует точка 4.

Сопоставляя линию 2-5-4 с контуром штрихового овала, ограничивающего реально встречающиеся распределения погрешностей, ясно, что распределения Стьюдента непригодны для описания распределений погрешностей, за исключением участка с / > 10, когда они мало отличаются от нормального распределения,

Рис. 1-5

Симметричные экспоненциальные законы распределения, вид кривых которых изображен на рис. 1-5, могут быть описаны выражением

2W (1/а)

гдеЯ = /"Ш-")

Р gj, а а - среднее квадратическое отклонение. При X = О и Яа = 1 выражение приводится к виду

р(х)

2Г (1/а)

е-а:" = Л(а)е-1=1"

с нормирующим множителем А (а), зависящим от закона распределения, т. е. от значения а. При а оо это выражение описывает равномерный закон (рис. 1-5, г), при а>2 - плавные, близкие к трапецеидальным законы формы «шапо» (рис. 1-5, в), а при а = 2 - нормальный закон Гаусса (рис. 1-5, б) с

р{х)

L-e-i и А,

-.fne