Относительная случайная погрешность определения оценки о* равна

а* 2Vn У v.

т. е. не зависит от о, и поэтому не может быть уменьшена использованием для измерений более точной аппаратуры, а определяется только объемом выборки (тг) и видом распределения (к). Для определения оценки о*, например, с относительной погрешностью у (о*) = 0,1 = = 10% при равномерном распределении (контрэксцесс к = 0,74) достаточно п = 20, при нормальном (х, = 0,577) нужно /г = 50, а при экспоненциальном распределении (к = 0,408) необходимо уже п - = 125 наблюдений.

Оценка четвертого центрального момента может быть определена (без поправки на смещение) как

Относительная погрешность оценки контрэксцесса к, найденной как V. = а2/]/р4 по выборке объемом п, приближенно (с погрешностью 10-20%) для распределений с к = 0,4 -f- 0,75 равна

Отсюда для определения оценки к с относительной погрешностью Y (к*) = 0,1 = 10% при равномерном распределении достаточно п = 11, при нормальном нужно /г = 73, а при экспоненциальном распределении необходимо уже п = 757 наблюдений.

Оценка энтропийного значения случайной величины по экспериментальным данным находится согласно соотношению

У П ("/

= 10 . (1-4)

Дисперсия оценки энтропийного значения случайной величины, так же как и дисперсия о*, убывает с увеличением объема выборки п. Но уменьшение разброса с возрастанием п для Ад происходит значительно быстрее, чем для о. Поэтому если при /г = 15 относительные средние квадратические погрешности о (а*)/М (о*) и о (А)/М (А?) примерно одинаковы, то при определении этих оценок с большей точ-

ностью (например, с погрешностью 7,5% для равномерного распределения) для нахождения значения о необходимо /г = 30 наблюдений, а для вычисления Дд с той же относительной погрешностью (7,5%) достаточен объем выборки /г = 20 наблюдений.

Правильное округление результатов расчета оценок параметров распределения погрешностей особенно важно при использовании ЭВМ или электронного калькулятора, так как машина выдает их с заранее заданной разрядностью (5 или 9 десятичных знаков) и они гипнотизируют своей кажущейся точностью. Однако исходными данными, как правило, являются или малая выборка наблюдений, или нормируемые значения погрешностей с одной-двумя значащими цифрами. Поэтому при любых расчетах следует всегда находить погрешности полученной оценки и оставлять в округленном результате лишь 1-2 недостоверных десятичных- знака. Однако при оценке погрешности может оказаться недостоверной даже первая значащая цифра. В этом случае приходится учитывать следующее обстоятельство. Если первая значащая цифра есть 1 или 2, то отбрасывание второго десятичного знака приводит к слишком большой ошибке (до 30-50%). Но если первая значащая цифра, например, 9, то сохранение второго знака (т. е. указание оценки, например, в виде 0,94 вместо 0,9) является дезинформацией, так как исходные данные не обеспечивают такой достоверности.

Исходя из этого на практике установилось следующее правило. Если первая недостоверная цифра есть 1 или 2, то сохраняется и второй недостоверный знак; если же она 3 и более, то второй недостоверный знак опускается. В соответствии с этим правилом установлены и нормируемые значения погрешностей средств измерений: в числах 1,5 и 2,5% указываются два десятичных знака, но в числах 0,5; 4; 6% - лишь один знак.

Изложенные правила округления можно сформулировать следующим образом.

1. Округление любого результата расчета или измерения должно производиться в соответствии с его погрешностью, для чего одновременно с самим результатом должна быть оценена и его погрешность.

2. Результат округляется до того же десятичного знака, которым оканчивается округленное значение его абсолютной погрешности.

3. Если в полученной оценке недостоверна даже первая значащая цифра, то оценка указывается с двумя знаками, если первый из них есть 1 или 2, и с одним десятичным знаком, если он есть 3 или более.

4. Округление производится лишь в окончательном ответе, а все предварительные расчеты выполняются не менее чем с одним лишним знаком.

Пример. Пусть на ЭВМ было получено X = 456,78; о (X) = 1,4768 и а (а) = = 0,47118. Решение: Др.в (о) = 1,6 о (oL= 1,6-0,47118 = 0,75389 0,8 (так как 7 > 2). Отсюда следует, что значение о (X) находится в пределах от 1,5 - 0,8= 0,7 до 1,5+ 0,8= 2,3, т. е. в значении а (X) = 1,5 оба знака недостоверны, однако оба должны быть сохранены. Погрешность оценки X равна До,9 (Х) = 1,6 а (X) = = 1,6-1,4768= 2,36288 « 2,4, и X заключено в пределах от 456,8 - 2,4 = 454,4 до 456,8 + 2,4 = 459,2, т. е. в оценке X достоверны лишь первые два знака. Поэтому окончательно результаты должны быть представлены как X - 456,6 ± 2,4; о (X) = 1,5 ± 0,8 и а (а) = 0,5.

в заключение необходимо отметить, что наряду с записью результата в виде, например, о = 1,5 ±0,8 очень полезно представить его в виде 0,7 <; о <; 2,3. Дело в том, что первый вид записи маскирует интервал неопределенности и создает ложное впечатление благополучия, тогда как второй вид записи подчеркивает протяженность интервала неопределенности.

1-4. РАЗНОВИДНОСТИ АНАЛИТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОГРЕШНОСТИ

Как было указано выше, знание вида закона распределения важно при экспериментальном определении размера случайных погрешностей, так как при одних распределениях достаточна выборка, состоящая из 10-20 наблюдений, тогда как при других оказывается недостаточным и п = 100 500 наблюдений. Выбор вида распределения для каждой из составляющих погрешности нужен и при расчетном суммировании погрешностей при проектировании средств измерений (см. § 1-6). ГОСТ 8.011-72 предусматривает указание вида закона распределения при сообщении погрешности результатов измерений. Поэтому необходимо знать, какие виды законов распределения могут встретиться при рассмотрении случайных погрешностей, какие из них близки друг к другу и при необходимости могут быть заменены один другим, а какие, наоборот, резко отличаются друг от друга.

По признаку симметрии законы распределения подразделяются н8 симметричные, когда случайные погрешности, равные по значению, но различные по знаку, встречаются одинаково часто, и несимметричные - скошенные. Погрешности, как правило, распределены приблизительно симметрично. По числу максимумов в кривой распределения (называемых модами) законы распределения погрешностей подразделяются на безмодальные (не имеющие моды), одномодальные и двухмодальные. С позиций теории вероятностей форма закона распределения численно характеризуется его относительным четвертым моментом или его обратной величиной в виде контрэксцесса к = = GlYvi, а с позиций теории информации - значением энтропийного коэффициента k - Aja. Поэтому топографическую классификацию законов распределения удобно, производить в плоскости этих двух координат.

Для всех возможных законов распределения к изменяется от О до 1, а /е - от О до 2,066, поэтому каждый закон может характеризоваться некоторой точкой с определенной долготой и широтой в прямоугольнике, представленном на рис. 1-3. Фактические законы распределения погрешностей занимают на рис. 1-3 область, очерченную штриховым овалом. Для суждения о том, какими математическими выражениями эти законы могут быть аппроксимированы, рассмотрим ряд законов распределения, описываемых простейшими математическими зависимостями.

Экстремальные законы распределения - это дискретное двузначное распределение и семейство законов распределения Стьюдента.