и называется срединной ошибкой, доверительная вероятность Рд = 0,8 общепринята во всех стандартах и расчетах надежности средств электроники, автоматики и измерительной техники, а значения P„ == 0,9 и Рд = 0,95 являются предпочтительными (см. § 1-6) значениями доверительной вероятности при нормировании соответственно случайной и результирующей погрешностей средств измерений.

Достоинство доверительной погрешности состоит в том, что ее значение может быть оценено по экспериментальным данным очень простым путем. Пусть проведена серия из п измерений. Из п погрен!-ностей образуют вариационный ряд, расположив их в порядке возрастания. Слева условно приписывают значение -оо, а справа - значение -foo, так что вариационный ряд -оо, Д,,, Д(2), ...,Д,„,, +оо состоит из (п + 2) членов. Индексы в скобках означают, что в вариационном ряду Д,1, = Д,2) = ... = А(и). Утверждается, что" каждый из членов вариационного ряда является оценкой соответствующих квантилей, которые делят интервал (О, 1) на {п + 1) частей с равными значениями вероятностей, т. е. в среднем вероятности попадания значений погрешностей в каждый из интервалов (-оо, Д(1)), (Д(1), A(2i). •• (Д(„ 1,, Д(„)), (Д,„), +оо) одинаковы и равны 1/(/г + 1). Следо

вательно, значение Д/ является оценкой -100%-ной квантили.

Поясним сказанное примером. Пусть при исследовании преобразователя наблюдались следующие девять значений его случайной погрешности: -1; 0; +2; -3; +1; +4; -2; -4; +3. После расстановки в порядке возрастания они образуют вариационный ряд -4; -3; -2; -1; 0; +1; +2; +3; +4. Эти наблюдения и являются оценками соответствующих квантилей, так как мы вынуждены считать, что при дальнейшем продолжении наблюдений вероятность Р,- попадания их в ка-

(+4, -foo) одинакова и равна 1/(/г + 1), поскольку полученные на-блючечи- Y"------- ~ } чт!Торв.:лов (в наше:.: .:луч.с

Л 1 i - 10 и о1;рил»пи>.,1г> iluiidAdnnM В КйЖДЫЙ ИЗ ИНТерваЛОВ Р,- = = 4- П = О 1 = ЩО)

Естественно, на практике распределение отдельных наблюдений будет не столь равномерным, как в нашем примере. Так, наблюдения «-2» могут встретиться два раза, а «-1» - ни разу и т. д. Однако при п = 9 крайние из наблюдений (в нашем примере -4 и --4) всегда будут охватывать 8 интервалов из 10 возможных. Поэтому указание, что погрешность данного преобразователя не более Д = ±4 должно сопровождаться добавлением «с доверительной вероятностью Рд = = 0,8», так как в 0,2 всех случаев погрешность может попасть в интервалы (-оо, -4) и (+4, +оо), т. е. оказаться за пределами А = = d=4. При п = 19 наибольшее Д(„) и наименьшее значения дают оценки 95%-ной и 5%-ной квантилей, а половина их разности - оценку доверительной погрешности при Рд = 0,9. Если при п = 19 отбросить крайние значения А,,,) и A(i) и взять половину разности крайних членов A(« i) и Д(2) оставшегося ряда, то получится оценка доверительной погрешности при Рд = 0,8 и т. д.

Таким образом, практическое определение Ад сводится к тому, что

из результатов наблюдений отбрасываются интервалы, ограниченные наибольшими по модулю, а следовательно, самыми неустойчивыми, близкими к промахам наблюдениями. Если при переменном п отбрасывается одна и та же часть всех интервалов, например 10%, то определяемое значение Дд не зависит от длины п серии наблюдений и оказывается тем более устойчивым, чем больше серия наблюдений.

При этом следует иметь в виду, что по ограниченным экспериментальным данным мы получаем не точные доверительные значения, а лишь приближенные значения - оценки. Достоверность квантильных оценок резко повышается с понижением значения Рд, а при постоянном Рд - с ростом числа наблюдений п. Поэтому квантильные оценки с большими доверительными вероятностями могут быть найдены

только при большом числе наблюдений.

Действительно, так как вариационный ряд из (п + 2) членов определяет (п + 1) интервалов с одинаковой в среднем вероятностью попадания в них наблюдений, то при отбрасывании лишь членов +СО и -оо может быть определена доверительная вероятность, небольшая

Таблица 1-1

однако достоверность оценки Ад, найденной таким образом, очень мала. Для оп-1еделения оценки с большей достоверностью с каждого конца вариационного ряда должно быть отброшено некоторое число наблюдений. Располагая рядом из п наблюдений и отбрасывая с каждого из концов ряда по «отб наблюдений, можно определить Дд с доверительной вероятностью, не большей

Р п-1-2Потб

Отсюда число наблюдений п, необходимое для определения Ад с заданной вероятностью Рд, составляет

..- 1+Рд + 2По,в , 2(1+Потб)

и для различных значений Рд и «отб дано в табл. 1-1. Из таблицы ясно, что практически можно определить значения Ад лишь с доверительной вероятностью Рд 0,95 (п ~ 100), а определение Ад с Рд = 0,99 или 0,997 трудно осуществить (необходимо п = 200 2000).

Тем не менее очень часто доверительные погрешности рассчитывают, вводя ничем не обоснованное предположение о том, что вид закона распределения погрешностей будто бы точно известен. В частности, используют прием, заключающийся в вычислении по небольшой серии наблюдений (2Э-30) среднего квадратического отклоне-

нля а, а затем указывают «максимальную» погрешность = Зо с доверительной вероятностью = 0,997 на основании предположения о нормальном законе распределения.

Из приведенного выше анализа ясно, что такой прием является «научно» замаскированным обманом вне зависимости от того, допускается ли он сознательно или неосознанно. Дело заключается в том, что реальные законы распределения погрешностей приборов весьма разнообразны и часто очень далеки от нормального. (Это далее будет рассмотрено.) Для установления действительного хода кривой распределения на ее краях необходимо проведение испытаний, число которых должно быть тем больше, чем большим выбирается значение доверительной вероятности (см. табл. 1-1). При малом числе испытаний (20-30) какие-либо сведения о ходе кривой в районе квантилей, соответствующих Рд = 0,95 -ь 0,99 (не говоря уже о Рд = 0,997), отсутствуют и утверждения о ходе кривой распределения в этом неисследованном районе лишены оснований.

Основным недостатком оценки погрешности доверительным значением Ад при произвольно выбираемых Рд является невозможность суммирования Ад.

Среднее квадратическое значение о случайной величины X - это ее действующее (эффективное) значение, подобное действующему (в энергетическом смысле) значению токаг (О со сложной формой кривой:

о = Ч-=+]/Y( - Х)= р (X) ,

где D-дисперсия, или второй центральный момент, случайной величины, а р (х) - плотность распределения.

Основным достоинством оценки случайных величин их действующим (т. е. средним квадратическим) значением а является возможность определения действующего значения суммы статистически независимых величин как

Dx = ] или а = J] of

1 = 1 i=l

безотносительно к разнообразию законов распределения каждой из суммируемых величин и деформации законов при образовании композиций *.

Энтропийное значение случайной величины. Анализ дезинформационного действия случайных помех с различными законами распределения вероятностей привел К. Шеннона к выводу, что вносимая помехой дезинформация определяется не только мощностью этой помехи, т. е. ее средним квадратическим значением о, но еще зависит и от вида закона .распределения этой помехи.

Это положение К. Шеннон сформулировал в виде своей 16-й теоремы, которая утверждает, что если помеха в вероятностном смысле

* Закон распределения суммы случайных величин является композицией законов распределения составляющих.