12 £,к8/си

Рис. 2.4. Зависимость коэффициента диффузии от поля:

1 теорети.ч.еская кривая для коэффициента диффузии в направлении., параллельном полю О jj [3]; 2 - теоретическая кривая для коэффициента диффузии в направлении, пер-пендикул.ярнои полю Dj \3]; 3 - экспериментальная зависимость (Е) по данным работы UI].

методики СВЧ нагрева на частоте 33 ГГц. Из сравнения рис. 2.3,8 и г видно, что результаты расчетов прекрасно согласуются с экспериментальными данными [17] *).

Вывод об уменьшении подвижности в слабом поле и возрастании Et с увеличением температуры подтверждается также результатами, полученными в работе [18].

Из рис. 2.3,8 и г видно также, что при низких температурах подвижность электронов резко уменьшается при полях всего в несколько сотен вольт на сантиметр. Это уменьшение подвижности связано с тем, что при низкой температуре уже при таких полях электроны заметно нагреваются и становится существенным рассеяние, связанное с испусканием полярных оптических фононов. При дальнейшем росте поля именно этот процесс рассеяния определяет подвижность. Поэтому дифференциальная подвижность в области полей от сотен вольт на сантиметр вплоть до порогового поля зависит от температуры значительно слабее.

В[3] при тех же предположениях, что и в описанной выше работе [5], методом Монте-Карло была рассчитана зависимость коэффициента диффузии электронов от поля D{E). Результаты расчета показаны на рис. 2.4 (кривые 1, 2). Первоначальный рост коэффициента диффузии с ростом поля объясняется разогревом электронов. Последующее уменьшение обусловлено эффективным переходом электронов в верхние долины зоны проводимости, сопровождающимся резким уменьшением подвижности. Из рис. 2.4 видно, что расчет предсказывает заметную анизотропию коэффициента диффузии для направлений, параллельных и перпендикулярных электрическому полю **\

Экспериментально зависимость поперечного коэффициента диффузии D{E) от поля для GaAs не измерялась. Зависимость параллельного коэффициента диффузии от поля {Е) была исследована в [11]. Полученная кривая приведена на рис. 2.4 (кривая 3). Из сравнения теоретической и экспериментальной зависимостей D (Е) видно, что количественные расхождения между параметрами кривых весьма существенны. В [3] отмечается, что причина этих расхождений связана, возможно, с каким-либо из механизмов рассеяния, не учтенных при расчете.

*) Отметим, что экспериментальные результаты, приведенные на рис. 2.3,г, были качественно правильно интерпретированы в работе [17] на основе расчетов, при которых предполагалось, что функция распределения электронов является смещенной максвелловской.

**) Вопрос о некоторых возможных механизмах анизотропии коэффициента диффузии исследовался в работах [14, 16].

WOfJTu

Выше параметры эффектов пе- уыуы*смУв-с реноса расчитывались в предположении, что заданное электрическое г поле приложено к образцу достаточно долго для того, чтобы функция распределения электронов успела установиться. Во многих практически важных случаях диоды Ганна работают в условиях, когда помимо постоянного поля Ео к ним приложено также переменное поле высокой частоты. При этом начинает сказываться инерционность механизмов, определяющих зависимость 2 скорости электронов от поля: нагре- ва электронов и междолинного рас- judiO, си/В-с сеяния из нижней долины в верхние. ~ Дрейфовая скорость не успевает следовать за полем, и вместо статиче- g ских коэффициентов переноса следует пользоваться их «динамическими» значениями, зависящими от частоты.

В работе [19] методом Монте - Карло была рассчитана подвижность электронов в GaAs в широ- -г ком диапазоне частот. Расчет производился в два этапа. Сначала описанным выше способом ![4, 5] определялась стационарная функция распределения для данного поля, а затем рассчитывался временной отклик на малое отклонение поля от стационарного значения. Расчет показывает, что частотные свойства зависимости скорости от поля определяются, главным образом, временем нагрева электронов полем в нижней (ООО) долине Тт. Это обстоятельство подтверждается экспериментальными данными, полученными в работе [20], в соответствии с которыми Тт - Ю-*. Время междолинного перехода t.i 2 в хорошем согласии с более ранними расчетами Конвелл и Вассела, выполненными другим методом (см. ниже), найдено в работе [19] равным t:i 2~5- 10-" с.

Запаздывание установления кривой v{E) на высоких частотах приводит к необходимости вводить, помимо активной составляющей дифференциальной подвижности \xd, характеризующей компонент дрейфовой скорости, меняющийся в фазе с СВЧ полем, такл<е и реактивную составляющую дифференциальной подвижности x*d. На рис. 2.5,а показана рассчитанная в работе [19] зависимость активного и реактивного компонентов дифференциальной подвижности от частоты при поле смещения £0 = 5,5 кВ/см. Из рисунка видно, что уже на частоте 10 ГГц емкостная составляющая дрейфовой скорости достигает заметной величины. Частоте f- 30 ГГц соответствует фазовый сдвиг между полем и скоростью около я/4.

8 £",кВ/см

Рис. 2.5. Зависимости активной 1 и емкостной 2 составляющих дифференциальной подвижности от частоты при Ео- =5,5 кВ/см, 7=300 К (а) и зависимость дифференциальной подвижности электронов от пшя при раз.шчных частотах

(б) т.

На рис. 2.5,6 показана рассчитанная в [19] зависимость активной составляющей дифференциальной подвижности [id от поля при комнатной температуре для частот 0; 35 и 140 ГГц. Из рисунка видно, что поле Et растет с увеличением частоты, а абсолютное значение отрицательной дифференциальной подвижности уменьшается.

Интересно отметить, что при частоте 140 ГГц величина цй сравнительно слабо зависит от поля в области полей примерно от 2 до 3 кВ/см. Этот вывод качественно подтверждается экспериментальными данными, полученными в работе [18].

2.2.3. Расчеты характеристик явлений переноса в GaAs, основанные на приближенном решении уравнения Больцмана

Как уже отмечалось выше, метод Монте-Карло эквивалентен точному решению уравнения Больцмана. Существует также ряд приближенных методов решения этого уравнения, применявшихся для расчетов характеристик явлений переноса в GaAs. Детальный анализ методов приближенного решения уравнения Больцмана для различных комбинаций механизмов рассеяния в условиях эффекта Ганна и полученных с их помощью результатов содержится в работах [7, 21, 22]. Поэтому ниже ограничимся изложением основных результатов, которые не были получены методом Монте-Карло.

В наиболее простом из приближенных методов, так называемом «методе смещенного максвелловского распределения», уравнение Больцмана решается в предположении, что функция распределения является в каждой из долин (как в нижней, так и в верхних) максвелловской функцией, смещенной в пространстве импульсов. Этот метод был использован Батчером и Фосеттом [23, 24] для расчета зависимости и(£) при комнатной температуре. Рассчитанная в работе [23] кривая v{E) хорошо совпадает с наиболее надежными экспериментальными данными. В. Хайнле, пользуясь методом смещенного максвелловского распределения, рассчитал с учетом непараболичности нижней <000> долины *) целый ряд характеристик явлений переноса для GaAs [25] вплоть до поля 200 кВ/см**).

Из приведенных выше расчетов, .выполненных методом Монте-Карло, видно, что функция распределения в действительности сильно отличается от максвелловской. Несмотря на это, некоторые важные результаты, полученные на основе метода смещенного максвелловского распределения (например, ход зависимостей v{E), D{E), пг1пй{Е) и ряд других), качественно согласуются с результатами расчетов, выполненных методом Монте-Карло и экспериментальными данными.

Следует отметить, однако, что значения параметров теории, при которых достигается согласие с экспериментальными данными, значительно отличаются от параметров, использованных при расчетах по методу Монте-Карло. Это обусловлено существенной погрешностью,

*) в работах Батчера и Фосетта [23, 24] нижняя долина считалась параболической.

*•*> Следует заметить, что в рамках двухдолинной модели, использованной в работе [25], расчеты, относящиеся к полям, большим 30... 50 йВ/см, некорректны. Из данных,

полученных методом Монте-Карло (см. выше), и из расчетов Хайнле [25] следует, что приполе около 30 кВ/см энергия электронов в верхних <100> долинах такова, что необходимо учитывать рассеяние в лежащие выше Z-i- и Хз-минимумы (приложение 1).