ния за промежуток времени AU есть %{k)Ati, а вероятность того, что за время А4 рассеяния не произойдет, есть 1-А() Д,. Отсюда

Р=:П [1-Я()Д/], (2.5)

откуда

lnP = -21n[l-Xik)Ati]. (2.6)

Используя условие X{k)Ati<l, можно разложить логарифмы в ряд и ограничиться первым членом разложения

In Р = - Я (А) 2 А/ = ~i.(k)to. (2.7) 1=1

Тогда

Р = е-<Ч (2.8)

Таким образом, вероятность рассеяния электрона в момент времени to, отнесенная к единице времени, равна

=Я()е-<*Ч (2.9)

Сопоставляя выражения (2.2) и (2.9), видим, что для определения момента времени 4 по случайному числу г требуется решить сложное интегральное уравнение. Существует, однако, прием, который позволяет значительно упростить процесс нахождения по заданному г. Этот прием заключается в добавлении к т существующим реально физическим процессам рассеяния еще одного фиктивного процесса рассеяния, характеризуемого скоростью рассеяния

So{k, k)=%oik)8ik-k), (2.10)

где 6{k-k) -дельта-функция Дирака.

Очевидно, что, поскольку в таком процессе рассеяния состояние электрона не меняется, скорость рассеяния Ао(й) не должна влиять на функцию распределения электронов и на любые физические характеристики электронного газа, такие, как средняя дрейфовая скорость электронов, коэффициент диффузии и т. д. Поэтому величину 7{k) можно выбрать любой.

Примем

Koik)=r-X{k), (2.11)

где Г - константа, выбираемая достаточно большой, для того чтобы величина Х){к) была положительной. Теперь полная интегральная скорость рассеяния с учетом фиктивного процесса рассеяния равна, очевидно, X:o{k) +X{k)=T и вероятность рассеяния в единицу времени Pt будет равна

Ptre-"". (2.12) Подставляя (2.12) в (2.2), получаем

°Те-"Л=-1-е-"°

ln(l-г)/Г. (2.13)

Таким образом, генерируя различные случаи числа г и пользуясь формулой (2.13), устанавливаем различные случайные моменты рассеяния электрона to. Теперь необходимо определить, какой именно процесс рассеяния произошел в момент времени 4. Для того чтобы ответить на этот вопрос, выкинем еще одно случайное число d (принадлежащее к случайным числам, распределенным с одинаковой плотностью вероятности между О и Г). После этого проверим выполнение серии неравенств по следующей схеме. Если d<%o, то будем считать, что произошел фиктивный процесс рассеяния, если Xod.Xo+li, то произошел первый процесс рассеяния, если h) + Xid%o + Xi + X2, второй и т. д. Из этой схемы понятно, что выгодно выбирать величину Г возможно меньшей (но все же достаточно большой, чтобы обеспечить положительность А,о) для того, чтобы фиктивный процесс рассеяния происходил возможно реже.

После того, как определено, какой именно процесс рассеяния произошел, необходимо определить конечное состояние электрона, т. е. значение его энергии <§ и импульса k после рассеяния.

Для фиктивного процесса рассеяния конечное состояние, разумеется, известно - оно совпадает с начальным. Для физических же процессов рассеяния энергии конечное состояние <§ (k) определяется законом сохранения энергии. Значение волнового вектора k в конечном состоянии зависит от распределения вероятности волновых векторов конечного состояния по углам. Оно в свою очередь определяется механизмом рассеяния. Для того чтобы определить значение k, также используют случайные числа. Рассмотрим в качестве примера простейший случай: рассеяние электрона на акустических фононах в параболической и сферически симметричной долине зоны проводимости. Для модели зонной структуры GaAs, используемой при расчетах методом Монте-Карло, функция распределения электронов симметрична относительно направления электрического поля. Поэтому достаточно характеризовать волновой вектор k двумя составляющими - kz, направленной вдоль поля, и перпендикулярной полю составляющей kp- Для акустического рассеяния в параболической долине зоны проводимости все значения волновых векторов k равновероятны. Поэтому вероятность того, что вектор k будет составлять угол 6 с направлением поля Z, пропорциональна длине окружности радиусом \k\ sin6. Отсюда вероятность того, что волновой вектор k будет составлять с осью Z угол, лежащий между значениями 0 и в-f Э, равна

/5(9)9 = 1/2 sin ede, (2.14)

где константа /2 определена из условия нормировки {P{b)db = l. Из

(2.14) видно, что можно определить угол G и, следовательно, конечное состояние k, генерируя случайные числа Ь, распределенные с равной плотностью в интервале между О и 1 при использовании соотношения

6= j"P(6)d8 = Va(l - cosO). (2.15)

в более сложных случаях, например при рассеянии электрона на полярных оптических фононах, необходимо учитывать угловую зависимость плотности распределения вероятности конечных состояний k, что усложняет описанную выше процедуру [5]. Основная идея расчета остается, однако, той же: определить конечное состояние электрона, используя случайные числа. После того, как волновой вектор электрона в конечном состоянии определен, мы вновь выкидываем случайное число г, определяя случайный момент следующего рассеяния. Затем выбрасываем случайное число d, определяя, какой именно процесс рассеяния произошел. Наконец, выкидывая одно (для акустического рассеяния) или несколько (в более сложных случаях) случайных чисел, определяем конечное состояние электрона. Затем весь процесс повторяется и т. д.

Таким образом, осуществляется моделирование движения электрона в импульсном пространстве. При этом подсчитывается время, которое проводит электрон в каждом малом объеме импульсного пространства. Это время будет пропорционально функции распределения электронов t{k). Зная функцию распределения электронов, легко подсчитать все физические наблюдаемые величины, такие, как средняя дрейфовая скорость электронов

p=ivuf(k)dk, (2.16)

где Vu - скорость электрона в состоянии k, и другие*).

Можно показать, что описанный выше метод Монте-Карло эквивалентен точному решению уравнения Больцмана для невырожденного электронного газа при заданных скоростях рассеяния Sq{k, k) и заданной зависимости энергии электронов от импульса Q (k) [5].

2.2-2. Результаты расчетов эффектов переноса в GaAs, выполненных методом Монте-Карло

Наиболее подробные расчеты характеристик эффектов переноса, выполненные методом Монте-Карло, содержатся в работах {3-5]. Во всех этих работах в основу расчета положена многодолинная модель зоны проводимости GaAs, описанная в приложении I. Поверхности равной энергии в нижней долине считались сферическими, однако в работе [5] была учтена непараболичность нижней долины [7].

Далее, принималось, что верхние <100> долины, переход электронов в которые обусловливает отрицательную проводимость s сильном поле, относятся к точке Xi зоны Бриллюэна. Это предположение согласуется с данными по изучению фотоэмиссии GaAs [8, 9], с результатами по измерению эффекта Холла при высоких температурах [10] и с данными, полученными при исследовании влияния давления на пороговое поле ганновской генерации. (Как отмечается в работе [5], этО предположение, однако, не является единственно возможным). Верхние долины считались параболическими, поскольку точное строение зоны в области больших значений волнового вектора неизвестно. Энергетический зазор между центральной и <100> долинами принимался равным 0,36 эВ [10].

*) Более удобным при расчете оказывается, однако, определять дрейфои7Ю скорость электрона при каждом его пролете между столкновения.чи и затем брать среднее значение по всем пролетам [5].