при 1 /Sa" < Ял/Якр < 1,

8 j -k,.::„„,]

при Пг/Пкр

Здесь Ud - Uo-ErminL - напряжение на домене; Ет{Пг, Ud)-максимальное поле в домене (гл. 3), равное

Eflimilliy (7ЛЗа)

при Йг/Якр < 1,

Ет {qVfir/iKpUd"j (7.136)

при «г./«кр> 1.

Используя формулу (7.13а), можно записать критерий Пг/«кр> 1/8яа2 в явном виде

UdzE-f qn. (7.14)

Для GaAs неравенство (7.14) соответствует условию f/d<Cl2,5 кВ, которое практически всегда выполняется.

7.3.3. S-образная вольт-амперная характеристика

При больших полях в домене скорость э,лектроиов вне домена не зависит от поля смешения Ео и равна у,, mm (гл. 3). Поэтому, как уже упоминалось в п. 7.3.1, средняя по времени S-образная вольт-ампериая характеристика образца воспроизводит в соответствующем масштабе зависимость Пг(Ео), которая определяется балансом между генерацией и рекомбинацией электронно-дырочных пар. Анализ относительной роли различных механизмов рекомбинации в GaAs проделан в )[37]. В .этой работе показано, что при малом уровне генерации доминирующим механизмом рекомбинации является рекомбинация через глубокие центр.ы. В типичном ганновском материале nd>N-r и в отсутствие ионизации все глубокие центры заполнены электронами (гл. 5). В условиях ударной ионизации дырки захватываются заполненными центрами, а электроны имеют возможность захватиться только центрами, предварительно захватившими дырки (пустыми центрами). Поэтому при малом уровне генерации число центров захвата для дырок значительно больше, чем для электронов. Кроме того, в наиболее типичтюм для GaAs случае заполненный центр заряжен отрицательно [38] (см. также гл. 5). Поэтому сечение захвата для дырки значительно больше, чем для электрона. В силу отмеченных выше причин возникшие в результате ионизации дырки захватятся ловушками значительно быстрее, чем электроны, и количество пустых центров, способных захватить элек-

трон, будет практически равно числу избыточных электронов, возникших в результате ударной ионизации. Таким образом, при малом уровне генерации скорость рекомбинации электронов равна

R=ynr{nr-Яо), (7.15)

где у - коэффициент захвата для электронов (в GaAs уж; 10-* с- см [38]); no=«d-Лт. В работе [37] показано, что пороговое поле Es падающего участка S-образной характеристики (рис. 7.3) достигается при малом уровне ударной ионизации, когда выражение (7.15) справедливо. Поэтому приравнивая выражение (7.12) для скорости ударной ионизации к выражению (7.15)

ауПг{Пг-По), (7.16)

можно найти зависимость Пг(Ео), определяющую ход вольт-амперной характеристики при ударной ионизации в начале падающего участка.

Напомним (п. 7.3.1), что для применимости теории необходимо, чтобы характерное время рекомбинации было велико по сравнению с пролетным временем. (В противном случае будет существенна неоднородность распределения носителей вдоль образца и теория станет неприменимой.) Отсюда следует необходимый критерий применимости теории (уПо)->Г или rtoL<Cfr/Y- Принимая и-Ю см/с и у=10- с--см, получаем ПоЕЮ см-. Это неравенство не является жестким и выполняется, в частности, в тех экспериментах, с которыми ниже будут сравниваться результаты теории.

Аналогичным образом ход вольт-амперной характеристики может быть рассчитан и при больших уровнях генерации [37]. При этом следует учитывать изменение механизма рекомбинации с ростом уровня генерации.

Остановимся подробно на зависимости порогового напряжения Us = = EsE от параметров образца, поскольку именно для этой величины имеются в настоящее время достаточно надежные экспериментальные данные*). Величину Us можно рассчитать из уравнения (7.16), восполь-

зовавшись условием j- = и.

В результате расчета получаем два значения Uo, из которых большее равно Us (рис. 7.3). Детали расчета содержатся в работе [37]. Приведем здесь результаты для наиболее интересных случаев \/8яа< •Спо/п1ф<С1 и Пп/Пкр1, причем напишем выражение для падения напряжения ма дометте Uj = U - ..JL:

и --i- - (7.17а)

У>пап1, In ( - 1

\ По !

* Другие параметры S-o6pa3iiofi вольт-амперной .характеристики, рассчитанные в [37], трудно сравнить с экспериментальными данными но следующим причинам. Прежде всего ход вольт-амперной характеристики при /cp>/s экспериментально исследован совершенно недостаточно. Кро.ме того, на падающем участке S-образной характеристики следует учитывать шнурование тока [28] и влияние дырок [39]. Помимо этого, при сравнительно высоких уровнях генерации, когда значительная часть центров опустошена, для расчета необходима более летальная информация о параметрах реко-мбинации. Такая информация для GaAs в настоящее время отсутствует. Наконец, при очень высоко-М уровне генерации характерное время генерации сравнивается с пполетным и колебания утрачивают когерентность (п. 7.3.-!). так что излагаемая теория становится несправедливой.

при ! /8ш-4ПоПкр < 1,

97iq [iiZp In (j,

sa-=- . (7.176)

при riohlKp > 1,

8к(72-2£2Лкр /

2.7-10-(,:)ляОаАз.

Выражения (7.17) справедливы при По<Пх.

Из (7.17) видно, что пороговое напряжение Usa падает с увеличением По, а от длины образца L и коэффициента захвата у зависит только логарифмически. Сопоставляя выражения (7.17) с формулами (7.13), можно убедиться, что падающий участок возникает, когда максимальное поле в домене Ет. достигает некоторой небольшой доли (около 1/1п(Пх/яо) <С1) величины

Поскольку пороговое поле Es с увеличением По и L падает (7.17), то, при достаточно больших значениях Пд и L, может стать равным Я, так что ударная ионизация в домене будет существенной даже при голе, равном пороговому полю. Используя (7.17), можно показать, что Es> >Et, если

ПоЬ <--г- (7-18а)

при «oM.p<Cl, yWoU <- -- (7.186)

При До/я,ф> I.

В экспериментальной работе [15] показано, что при До>10** см~2 («о<Я]ф) ударная ионизация в домене наблюдается даже при Uq<Ui (в триггерном режиме). При Uo>Ut эффект Ганна, неискаженный ударной ионизацией, в этом случае невозможен. Критическое значение noL, определяемое критерием (7.18а), при L=10" см и численных значениях параметров, приведенных выше, примерно равно 10** см~2. (Для других длин эта оценка справедлива с логарифмической точностью.) Таким образом, критерий (7.18а) хорошо согласуется с экспериментальными данными.

Полученное выражение для порогового напряжения Usd (7.17) молено сравнить с экспериментальными результатами, установленными в [27, 21, 18, 40, 17, 41].

В работе [27] исследовались образцы с концентрацией электронов от 2-101* до 10* см-з и длиной от 110 до 710 мкм. На рис. 7.5 теоретические кривые Us/Ut(no), рассчитанные в соответствии с формулой (7.17а), сравниваются с соответствующими экспериментальными резуль-1,52