Яо<С«кр и МоЛкр. Как видно из рисунка, численные расчеты хорошо-согласуются с результатами аналитической теории.

Из теоретических и экспериментальных результатов, изложенных в гл. 2, видно, что коэффициент диффузии в действительности сильно зависит от поля. Корректный учет этой зависимости затруднителен (см., например, в [52] обсуждение соответствующих трудностей). Обычно полевую зависимость диффузии пытаются учесть, записывая в уравнении (3.4) диффузионный член в виде

[0{Е)п].

В этом случае при Ло>>Якр можно с помощью метода итераций аналитически определить форму и скорость домена для слабой зависимости D{E). Полученное нами выражение для скорости домена имеет вид

u=.~-viEr) + ----, (3.57)

где p -заряд в стенках домена. В области полей ЕЕ-е, дающих основной вклад в интегралы (3.57), р определяется выражением (3.36). Из (3.57) видно, что изменение скорости Аи вследствие зависимости D{E) пропорционально среднему значению dD/dE с весом р. При больших полях в домене величина р максимальна при Е~Е. Как видно нз гл. 2, при E~Ev в GaAs dD/dE<0. Поэтому из (3.57) следует, что скорость домена с учетом зависихмости D{E) должна быть больше, чем скорость носителей вне домена.

Из (3.57) видно также, что Aw возрастает пропорционально по. В связи с этим уместно указать на верхний предел для скорости домена. Когда второй член в выражении (3.57) велик, скорость домена определяется процессами термодиффузии. Очевидно, что она не может превзойти максимально возможной скорости термодиффузии, а именно тепловой скорости электронов Vr. С формальной точки зрения этот предел определяется тем, что при u - v-r следует учитывать в исходных уравнениях пространственную и временную дисперсию кинетических коэффициентов.

Численные расчеты, учитывающие зависимость D (Е), были проделаны в работах [26-28]. Как показано в этих работах, с учетом зависимости D{E) при По Якр скорость домена и превышает v{Er), гфичем разность u-v{Er) растет сяо- При по<:«кр зависимость D{E) практически не оказывает влияния на скорость домена. Действительно, при «о<Якрплотность тока в передней стенке домена должна быть равна плотности тока смещения

S а . „ ., S дЕ

, КВ/СМ

-i2,0

о* -3 п-10 ,си

Рис. 3.11. Зависимость параметров до-.чена от Udl(Ud - падение напряу/сения на домене) [30]:

1 - скорость домена, 2 - амплитуда домена, 3 - плотность положительного объемного заряда в обедненном слое.

С другой стороны, она должна равняться плотности тока носителей вдали от домена j - qrioVr. Отсюда следует, что при р = дпо (полное обеднение) скорость домена и должна равняться скорости электронов вдали от домена и,- независимо от модели. Зависимость D{E) в этом случае может влиять лищь на величину максимального ноля в домене вследствие изменения правила площадей.

Экспериментально наиболее детальные и точные сведения о параметрах домена получены с помощью метода емкостного зонда, впервые примененного для исследования эффекта Ганна в работе [29]. К сожалению, пространственная разрешающая способность этого метода в настоящее время недостаточна для того, чтобы получить количественные данные о параметрах домена в высоколегированных образцах*). Для образцов с низкой концентрацией носителей наиболее тщательные измерения проделаны в работах [30, 31]. На рис. 3.11 показаны результаты, полученные Ганном [30] для образца с концентрацией носителей 2,7-10 см"" и холловской подвижностью р, = 8000 см/В-с. Из рисунка видно, что качественно наблюдаемые зависимости согласуются с установленными выше результатами: скорость домена при небольших напряжениях на домене Ud заметно падает с ростом Ua, с дальнейшим ростом напряжения на домене скорость домена практически не изменяется. Удельная плотность объемного заряда в обедненном слое сначала растет с ростом Ud, а затем при больших значениях Ua насыщается. Амплитуда домена пропорциональна Ud". Однако количественные расхождения весьма значительны. Так, степень обеднения переднего фронта даже при очень больших полях в домене не достигает 100%, насыщаясь на уровне около 75%. Скорость домена и насыщается при знакении 1,7-10 см/с, что при подвижности носителей в слабом поле 8000 смВ • с соответствует полю Ег min 2,1 кВ/см. Ожидаемое исходя из вида кривой v(E) значение для Ет тт составляет около 1,1 кВ/см, что соответствует скорости насыщения = с,-тш = = 0,88-Ю см/с (рнс. 2.2). Столь значительные количественные расхождения вызваны, по-видимому, как недостаточной разрешающей способностью использованной зондовой установки, так и неоднородностями образца [30]. Пунктиром на рис. 3.11 показаны значения параметров

*) Пространственное ограничение разрешающей способности зонда связано ке столько с его геометрическими размерами (они могут быть выбраны достаточно малыми,, около 2, . .3 мкм), сколько с временным разрешением современных стробоскопических осциллографов, на которых наблюдается сигнал. Если осциллограф обладает полосой пропускания около 10 ГГц и, следовательно, постоянной времени порядка 10~1" с, то при скорости домена приблизительно 10 см/с пространственная разрешающая способность зондовой установки будет не лучше 10 мкм. С другой стороны, используя приведенные выше выражения, легко убедиться, что при большой концентрации носителей (л» 10° см") ширина домена при LIO" см не превышает 10... 30 мкм.

2000Е ,Ъ/си

200Е,нВ/см

Рис. 3.12. Сравнение экспери.ченталъно установленных и теоретически раа читанных

пара.иетров домена:

о. - зависимость напряжения на домене от напряженности электрического поля вне домена (приборка:, кривая): б - зависимость (naU)F от амплитуды домена Е. 1 - аналитический расчет длл Оо.чена с полностью обедненны.ч передним фронтом (3.42); 2 - зависимость, рассчитанна.ч в \2S\ для О.м с:л: 3 - f)4 Ом сч; 4 - экспериментальная зависимость для образца с 04 Ом • см

[Н\. К])ив..[( 5, в, 7 рассчитаны в [28]: 5-р=2 Ом • см; 6-Р -0,5 Ом - см; 7 - Р = 0,1 Ом см.

В области полей в домене, близких к полю ударной ионизации. Заметная ударная ионизация наблюдалась при mlSO кВ/см.

В работе [31], в которой однородность легирования образцов специально контролировалась, степень обеднения переднего фронта была пайдепа равной 85 ... 95%, что в пределах погрешности измерения соответствовало полному обеднению. На рис. 3.12,а и б экспериментальные результаты, полученные в работе [31], сравниваются с данными теоретических расчетов. На рис. 3.12,а [28] показана зависимость напряжения на домене Ud от поля, вне домена Е,.. Эта зависимость, часто называемая «приборной кривой», широко используется для анализа мпогочислепных логических приборов на эффекте Ганна (см. гл. 11). Все кривые на рис. 3.12,а сдвинуты вдоль оси Ег так, чтобы поле Ет га\п было для них одинаковым. Сплошной кривой показана экспериментальная зависимость [31]. Пунктирной - зависимость, рассчитанная в работе [26] на основе температурной модели. Точечная кривая показывает зависимость, рассчитанную в [27] в рамках полевой модели с использованием кривой D(E), близкой к кривой 2 на рис. 2.4. Кривая из треугольников определяет зависимость, рассчитанную в .[28] с использованием кривой D{E), близкой к кривой 3 на рис. 2.4. Зависимости v(E), использованные в [27, 28], были сходными. Из рисунка видно, что наилучшее согласие с экспериментальными результатами достигается при использовании кривой D (Е), аналогичной кривой 3 рис. 2.4. На рис. 3.12,6 показана зависимость [noUd) or амплитуды домена Ещ. Видно, что экспериментальная зависимость, полученная в работе [31], практически совпадает с результатами расчета [28]. Из рисунка ясно также, что, как н следовало ои\идать, отклонение от простого аналитического расчета для По<С«кр возрастает с увеличением концентрации носителей в образце.