+ 1 " р-1

Передаточные функции в изображениях Лапласа имеют вид

W,{s) = W,{p) = W2{S) = W2{p)

s-1 1

p=s s + -yy p=s s2 i

Как видим, они совпадают, хотя рассматриваемые звенья описываются разными дифференциальными уравнениями и общие регпения однородных уравнений, описывающие свободные движения систем, различаются между собой:

у = Се-\ у = Cie-* + Сге*.

Отсюда, положив V{s) = О , находим передаточную функцию относительно входа u{t):

W is) = = о"+1"~ + --- + U{s) aos+ais-i+ ... + ап

Аналогично, положив U{s) = О , находим передаточную функцию относительно входа v{t):

W (s) = = о+1~ + --- + V{s) aos + ais-i + ... +

Как легко заметить, уравнение в изображениях Лапласа (2.18) получается из дифференциального уравнения (2.14а), т.е. дифференциального уравнения, записанного в символической форме, при подстановке р = s и замене переменных их изображениями. Поэтому передаточная функция 1/F(s) произвольной стационарной линейной системы связана с ее передаточной функцией (в операторной форме) W{p) соотногпением

W{s) = W(p)\. (2.19)

В тех случаях, когда W{p) имеет равные между собой нули и полюсы, предполагается, что в правой части (2.19) после подстановки р = s производится сокращение, и передаточная функция W{s) не имеет равных между собой нулей и полюсов. Обратное соотногпение

Wip)=W{s)l (2.20)

справедливо, если передаточная функция W{p) не имеет одинаковых нулей и полюсов.

Пример 2.4. Определить передаточные функции звеньев, описываемых уравнениями:

д) уу = щ б) у - у = й - и.

Ре HI е н и е . В символической форме эти уравнения записываются в виде:

а) {р + 1)у = щ б) (р2 - 1)у = {р- 1)и.

Их передаточные функции в операторной форме соответственно равны 1 „ 1

Wi{p) = , W2{p)=

При 00 первое решение при произвольных начальных условиях стремится к нулю, в то время как второе решение при С2 ф О стремится к бесконечности.

Таким образом, передаточная функция второго звена в изображениях Лапласа не может служить его описанием при произвольных начальных условиях. Это связано с тем, что его передаточная функция в операторной форме имеет равные между собой нули и полюсы.

2.4.2. Временные функции. Помимо дифференциальных уравнений и передаточных функций при описании и исследовании линейных систем используют переходные и импульсные переходные функции и их графики - временные характеристики.

Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции, который можно сформулировать следующим образом: реакция системы на несколько одновременно действующих воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности.

Принцип суперпозиции позволяет сводить исследование систем при нескольких одновременно действующих входных воздействиях к исследованию системы с одним входным воздействием. Например, пусть требуется найти реакцию системы при двух одновременно действующих входных воздействиях: и = u{t) и v = v{t). Нри этом эти воздействия могут быть приложены в одной точке или в разных точках системы. Находим сначала реакцию системы yu{t) при действии одного входа и = u{t) (v = 0), затем реакцию системы yv{t) при действии другого входа v = v{t) (и = 0). Реакция системы при одновременном действии обоих воздействий {и = u{t) и v = v{t)) равна сумме найденных реакций: у = yu{t) + yvit)-

Принцип суперпозиции позволяет во многих случаях ограничиться изучением систем только с одним входом.

Переходной функцией системы (звена) называют функцию, описывающую реакцию системы на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях.

Переходную функцию будем обозначать h{t). График переходной функции - кривую зависимости h{t) от времени t - называют переходной или разгонной характеристикой.

Импульсной переходной или весовой функцией {функцией веса) называют функцию, описывающую реакцию системы (звена) на единичное импульсное воздействие при нулевых начальных условиях.

Физически единичный импульс можно представить как очень узкий импульс, ограничивающий единичную площадь. Математически он описывается дельта-функцией S{t).

Весовую функцию будем обозначать w{t). График импульсной переходной функции - кривую зависимости функций w{t) от времени - называют импульсной переходной характеристикой.

Переходную и импульсную переходную функции называют временными функциями, а их графики - временными характеристиками.

Рис. 2.3. Определение временных функций: а - весовой функции; б- переходной функции

однозначное соответствие. Для установления этого соответствия рассмотрим звено (рис. 2.3), которое описывается уравнением

(П) (п-1) 7 М , V (-1) , , V

ао 2/ + ai у + ... + апУ = bo и + bi и + ... + bmU. В изображениях Лапласа это уравнение принимает вид

Y{s)=W{s)U{s), (2.21)

где Y{s) = L{y{t)}, U{s) = L{u{t)},

W{s) =

aos + ais-i + ... + an

Из определения весовой функции следует, что у = w{t) при и = = S{t) (см. рис. 2.3, а). И так как при этом Y{s) = L{w{t)} и U{s) = = L{S{t)} = 1, то из уравнения (2.21) получаем

W{s) = L{w{t)} = Iw{t)e- dt, (2.22)

т. е. передаточная функция в изображениях Лапласа равна изображению Лапласа весовой функции.

Из определения переходной функции следует, что у = h{t) при и = 1() (см. рис. 2.3, 6). И так как при этом U{s) = L{l{t)} = 1/s и Y{s) = L{h{t)}, то из уравнения (2.21) получаем

L{h{t)} = W{s) 1

W{s) = sL{h{t)}.

Если в последнем уравнении произвести обратное преобразование Лапласа, то в силу (2.22) в левой части получим w{t), а,в правой части в силу свойства преобразования Лапласа, связанного с дифференцированием оригинала, - производную от h{t):

w{t) = (2.23)

При произвольном входном воздействии из уравнения (2.21) на основании свойства преобразования Лапласа (теорема свертки) получаем

y{t) = jw{t-T)u{T)dT. (2.24)

2.4.3. Связь между передаточной функцией и временными функциями. Между передаточной функцией в изображениях Лапласа, переходной функцией и весовой функцией существует взаимно-