Исключив W{z) из (9.5), получим полиномиальное уравнение

P:{z)M%z) + Q:{z)N%z){z - ly = G*(z), (9.6)

откуда определяются полиномы M*{z) и N*{z). Подставив (9.5а), (9.56) в (9.4), находим

p:{z)Nz){z-iy -

Обозначим степень произвольного полинома Щ(z) через ur. . Тогда условие физической осуществимости регулятора из (9.7) можно записать в виде

Qb + пр + Пдг + г. (9.8)

Полиномиальное уравнение (9.6) разрегпимо, если число неизвестных (коэффициентов полиномов M{z) и N{z)) не меньгпе числа уравнений, получаемых приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях в уравнении (9.6). И так как число неизвестных равно (пм + 1) + (пдг + 1), а число уравнений пс + 1, условие разрешимости полиномиального уравнения принимает вид

Пм + Пдг + 1 ПС. (9.9)

В (9.56) степени полиномов числителя и знаменателя равны. Поэтому из его правой части имеем

По = Qh + iv + г,

откуда

UN = пс - riQ - г. (9.10)

Объединяя условие физической осуществимости (9.8) и условие раз-регпимости (9.9), с учетом (9.10) получим

Qh + г - 1 Пм пр -\- по - riQ, (9.11)

где пд = пд + пд - степень знаменателя передаточной функции неизменяемой части.

Таким образом, условия физической осуществимости регулятора и разрегпимости полиномиального уравнения будут выполнены, если степени полиномов M{z) и N{z) удовлетворяют соотногпениям (9.10) и (9.11).

Из условия (9.11) получаем, что степень характеристического полинома синтезируемой системы должна удовлетворять неравенству

По Qh + г + ng - 1 - Пр. (9.12)

Хотя вначале мы предполагали, что желаемая передаточная функция известна, в действительности она не может быть выбрана заранее (см. (9.5а)).

Порядок синтеза системы управления методом полиномиальных уравнений можно сформулировать следующим образом.

1. Разложить полиномы числителя и знаменателя передаточной функции неизменяемой части на два множителя, один из которых име-

9.3. Метод полиномиальных уравнений 275

ет нули внутри единичной окружности, другой - на и вне единичной окружности. Если указанные полиномы не имеют нулей на и вне единичной окружности, то положить P{z) = 1 и (5н(2;) = 1; если они не имеют нулей внутри единичной окружности, то приравнять P{z) и Qb() постоянному множителю этих полиномов.

2. Исходя из требований к качеству синтезируемой системы в переходном режиме и порядку астатизма выбрать характеристический полином синтезируемой системы Cz) и число г. Степень полинома должна удовлетворять условию (9.12).

3. Из соотношений (9.10) и (9.11) определить степени неопределенных полиномов М*(2;) и N{z) и записать их с неопределенными коэффициентами.

4. Подставить полученные неопределенные полиномы в полиномиальное уравнение и определить их коэффициенты.

5. Подставить найденные полиномы M*{z) и N*{z) в формулу для передаточной функции регулятора (9.7).

Пример 9.3. Передаточная функция неизменяемой части Ип() =

= -Требуется синтезировать регулятор, при котором статичес-z - и,5

кая ошибка равна нулю и переходный процесс заканчивается за конечное число шагов.

Решение. В данном случае P*{z) = 1, Q*{z) = z - 0,b и соответственно P{z) = P{z) = 1, Ql{z) = z - 0,5 и Ql{z) = 1. Степени

полиномов Пр = Пр =0, Пд = Пд = 1 и Пд = 0.

Так как статическая ошибка должна быть равна нулю, положим г = 1. Условие (9.12) принимает вид 1. Положим = 1. И чтобы переходный процесс закончился за конечное число шагов, полагаем характеристический полином G*{z) = z.

Условия (9.10) и (9.11) принимают вид

Пдг = О, О 0.

Поэтому полагаем M*{z) = 6о и N*{z) = ао- Подставив их в полиномиальное уравнение (9.6), получим

bo + ao{z -1) = z.

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях, находим

ао = 1, 6о = ао = 1.

Следовательно, M*{z) = 1 и N*{z) = 1. Подставив эти выражения для M*{z) и N*{z), а также выражения для P*{z) и Ql{z) в (9.7), получим искомое решение

z - 0,5

w;{z) =

Пример 9.4. Передаточная функция неизменяемой части Ип() = . Требуется синтезировать регулятор, при котором

{z-0,5){z-l,5) 18*

9.4. Синтез дискретной системы по непрерывной модели

Дискретный регулятор можно конструировать, используя методы синтеза непрерывных систем. Для этого сначала нужно с помощью указанных методов определить передаточную функцию Wp{s) аналогового (непрерывного) регулятора, а затем аппроксимировать Wp{s) дискретной передаточной функцией W*{z). При этом, учитывая, что дискретизация по времени с периодом Т вводит запаздывание Т/2 (см. (6.60)), следует проводить синтез для объекта с передаточной функцией e~Wo{s), где Wo{s) - передаточная функция исходно-

статическая ошибка равна нулю и переходный процесс заканчивается за конечное число niaroB.

Решение. В данном случае = 2; + 2, = -

-1,5) и соответственно P{z) = 1, P{z) = 2; + 2, Ql{z) = 2; - 0,5 и Qh() = ~ l?- Степени полиномов: Пр = О, Пр = 1, Пд = 2, пд = 1 и пд =1.

Так как статическая ошибка должна быть равна нулю, положим г = 1. Условие (9.12) принимает вид 1 + 1 + 2 - 1 = 3. Положим По = 3, и для того чтобы переходный процесс закончился за конечное число шагов, полагаем характеристический полином G{z) = z".

Условия (9.10) и (9.11) принимают вид

Пдг = 1, 1 1.

Поэтому полагаем {z) = bz + 61 и N{z) = az + ai. Подставив их в полиномиальное уравнение (9.6), получим

{z + 2){boz + bi) + {z- l,5)(ao2; + ai){z - 1) = z, или, после раскрытия скобок и приведения подобных членов,

az + (60 - 2,5ао + ai)z + (26о + &i - 2,5ai + 1,5ао); +

+ 2bi + 1,5 ai = z.

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях, находим

ао = 1, Ъо- 2,5 ао + ai = О,

2Ъо + 61 - 2,5 ai + 1,5 ао = О, 2bi + 1,5 ai = 0.

Решив эту систему, получим ао = 1, ai = 1,24, = 1,26, bi = -0,93. Следовательно, М*(2;) = 1,26 z - 0,93 и N*{z) = z -\- 1,24. Подставив эти выражения для M*{z) и N*{z), а также выражения для и Ql{z) в (9.7), получим искомое решение

. (-0,5)(1,26-0,93) Р" ( + 1,24)(-1) •