L{8mujt} = I(Ime)e- dt.

Если рассматривать s как действительный параметр, то это равенство можно записать в виде

Ljsino;} = Im ee"" dt. о

Отсюда, проинтегрировав и выделив мнимую часть, получим

L{8mujt} =

s2 +а;2-

10) Из формулы Эйлера получаем, что coso; равен действительной части е-: coso; = Ree- Поэтому

L{cosujt} = Re Iee-" dt =

11) Учитывая, что получаем

Ue-mcjt} = Im [e-e-4t =----.

У [s-\-a)-\-uj

12) Так как e" coso; = e" Ree = Ree(-) то получаем

L{e-cosa;} = Re [e-e-4t =--4-.

Таким образом, справедливость формул в табл. 2.1 доказана.

2.4. Передаточные и временные функции

Система или звено с одним выходом и двумя входами в общем случае описывается уравнением

М (п-1) l W , l (-1) ,

ао 2/ + ai + ... + апУ = bo и + bi и + ...

...-\-bmU-\-Со V -\-Ci V -\-...-\-CiV. (2.13) в символической форме это уравнение принимает вид {аор"" + aip" + ... + ап)у = {Ьор" + + ... + bm)u +

+ (сор + cip- + + ci)v, (2.14а)

Q{p)y = Pi{p)u + P2{p)v, (2.146)

9) Из формулы Эйлера е = cosx-\-j smx следует, что sino; равен мнимой части е-: sin cut = Im е-. Поэтому

ТТЛ / \ 1 ТТЛ / \ op -f- Oip -h . . . -h Om ,

aop" + ai-i + ... + an

Q{p) = аор"" + aip- + ... + an,

Pi{p) = bop" + hp- + ... + 6, (2.15)

2(p) = cop4cip- + ... + Q.

Наряду с дифференциальными уравнениями при описании линейных систем HinpoKO используются передаточные и временные функции.

2.4.1. Передаточные функции. Для описания линейных систем используются передаточные функции в операторной форме и передаточные функции в изображениях Лапласа.

Передаточной функцией в операторной форме называется отношение оператора воздействия к собственному оператору.

Напомним, что собственным оператором называют дифференциальный оператор при выходной переменной, а оператором воздействия - дифференциальный оператор при входной переменной.

Степень полинома знаменателя называют порядком, а разность между степенями знаменателя и числителя - относительным порядком передаточной функции и соответствующей системы.

Нулями и полюсами передаточной функции W{p) = Р{р)/Q{p) называют нули ее числителя и знаменателя соответственно, т.е. корни уравнений Р[р) = О и Q[p) = О, где р рассматривается как переменная, а не как оператор.

В случае системы управления, которая описывается уравнением (2.13) или (2.14), собственным оператором является Q{p), а операторами воздействия - оператор воздействия Pi{p) по входу и и оператор воздействия Р2{р) по входу v.

Поэтому в этом случае система определяется двумя передаточными функциями - передаточной функцией

" ~Ш~ вор"+eip"-i+ ... + «„ -

относительно входа и и передаточной функцией

относительно входа v. Порядок этих передаточных функций равен п, а относительный порядок равен п - т для передаточной функции Wu (р) и п - I для передаточной функции Wy (р).

С помощью передаточной функции уравнение рассматриваемой системы управления можно записать в виде

aol?" +ai-i + ... +an

+ V+cV- + ...+c, 2.17)

0,li? + r 0,li?2 + l,li? + l

Передаточной функцией системы (звена) в изображениях Лапласа называют имеющее наименьгпий порядок отногпение изображений ее выходной и входной переменных при нулевых начальных условиях. Согласно определению передаточная функция в изображениях Лапласа не может иметь равные между собой нули и полюсы, так как в этом случае ее порядок можно было бы понизить, сократив числитель и знаменатель на общий делитель.

Если система (звено) имеет несколько входов, то при определении передаточной функции относительно какой-либо одной входной переменной остальные входные переменные полагают равными нулю.

Найдем передаточные функции (в изображениях Лапласа) для системы, которая описывается уравнением (2.13). Применим к обеим частям этого уравнения преобразование Лапласа. Тогда, используя свойство линейности преобразования Лапласа, получим

аоЬ{у} + aiL{% + ... + апЬ{у} = boL{u} + biL{\ + ...

... + bmL{u} + coL{v} + ciL{v} + ... + ciL{v}.

Последнее уравнение, учитывая свойство 2 преобразования Лапласа (дифференцирование оригинала при нулевых начальных условиях), можно записать в виде

{aos + ais- + ... + an)Y{s) = {bos + bis + ... + bm)U{s) +

+ {cos + cis- + ... + ci)V{s), (2.18)

где Y{s) = L{y{t)}, U{s) = L{u{t)}, V{s) = L{v{t)}.

3 Д.П. Ким

Это уравнение следует рассматривать как еще одну символическую форму записи уравнения (2.13). Формально его можно получить из уравнений (2.14), разделив обе части на собственный оператор.

Передаточная функция в операторной форме является оператором. Ее нельзя рассматривать как обычную дробь. В частности, нельзя числитель и знаменатель сокращать на общий множитель, содержащий оператор дифференцирования.

Пример 2.3. Определить передаточную функцию звеньев, описываемых уравнениями:

а) 0,1у + у = 2щ б) 0,1г/ + 1,1 + 2/ = 2(й + и).

Регпение. В символической форме эти уравнения записываются в виде:

а) (0,1р+1)2/ = 2и; б) (0,1р2 + 1,1р+1)2/ = 2(р+1)и. Их передаточные функции равны соответственно