Z - Zi

Рис. 7.1. к доказательству принципа аргумента: < 1 (а) и > О (б)

аргумента этого вектора равно нулю, если \zi\ > 1 (рис. 7.1, . Поэтому (см. (7.17))

А argQ*(e-) = А

arg(e-Zi) = 2к7г,

если к нулей полинома Q*() находятся внутри единичного круга, а остальные п - к - вне единичного круга.

И так как Res < О при < 1 и Res > О при \zi\ > 1, изменение аргумента Q{juj) (см. (7.18)) определяется следующим образом:

А arg QiJLj) = V А arg {е - е) = 2 ктг,

еслиосновных нулей характеристического полинома Q{s) = (5*(е*") расположены в левой, а остальные п - к основных нулей - в правой s-полуплоскости.

Теперь покажем справедливость формулы (7.16). Так как е-" = = cos ж - jsinx, функция Q{-juo) = Q*{e~) является комплексно-сопряженной функции Q{juj) = Q*{e-). Аргументы комплексно-сопряженных функций отличаются только знаком:

arg Q (jo;) = -argQ(-ja;).

А argQ(ja;)= А argQ(ja;,;

-u;„/2u;0 oujuj/2

Отсюда следует, что А

-u;„/2a

И ИЗ (7.15) получаем (7.16).

7.3.2. Критерий Найквиста. Для исследования устойчивости дискретных систем можно использовать также критерий Найквиста (точнее, его аналог). Как и в случае непрерывных систем, он используется для определения устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой частотной характеристике ее разомкнутой системы.

Пусть передаточная функция дискретной системы управления в разомкнутом состоянии имеет вид

R{s)

где P{s), R{s) - полиномы от е*.

Критерий Найквиста. Если разомкнутая система неустойчива и ее характеристическое уравнение R{s) = О имеет к основных корней в правой полуплоскости и не содержит корней на мнимой оси, то для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы амплиту дно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы (годограф частотной передаточной функции W{juj)) при изменении частоты uj от О до охватывала точку (-1, jO) к/2 раз.

Если разомкнутая система устойчива, то для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы амплиту дно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы не охватывала точку (-1, jO).

Доказательство. Рассмотрим функцию

M{s) = 1 + W{s) = Q{s) = R{s) + P{s).

R{s)

В числителе имеем характеристический полином замкнутой системы, а в знаменателе - характеристический полином разомкнутой системы. Для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все нули характеристического полинома замкнутой системы Q{s) = R{s) + P{s) располагались в левой полуплоскости или в соответствии с принципом аргумента (см. (7.16)) выполнялось равенство

А arg(3(ja;) = птг.

По условию характеристическое уравнение R{s) = О имеет к основных корней в правой и остальные п - к основных корней в левой полуплоскости. Поэтому в соответствии с принципом аргумента

А a,YgR{juj) = (п - к)7г.

И так как arg М(jo;) = arg Q (jo;) - argi(ja;), то

A argM(ja;) = A argQ(ja;) - A 3igR{juj) = ктг.

0u;u;„/2 0u;u;„/2 0u;u;„/2

Отсюда следует: для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора M{juj) охватывал начало координат к/2 раз.

В силу равенства W{J(jj) = M{juj) - 1 годограф W{juj) получается из годографа M{juj) путем сдвига последнего влево на единицу

(рис. 7.2). Поэтому для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора W{juj)

Рис. 7.2. К доказательству критерия Найквиста: а - годограф M{ju;);

б- годограф W{juj)

при изменении частоты uj от О до а;и/2 охватывал точку (-1, jO) к/2 раз.

Если разомкнутая система устойчива, то = О, и для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф W{juj) не охватывал точку (-1, jO).

Пример 7.5. Передаточная функция разомкнутой системы

Wz)- 05( + 0,7)

- ;,2 12;.+ 0,35

период следования импульсов Т = 0,1. Исследовать устойчивость замкнутой системы.

Регпение. Определим устойчивость по критерию Найквиста.

Частотная передаточная функция разомкнутой системы определяется следующим образом:

0,5(е°+0,7)

W{ju) = W (.) .од. = ,.о,.. 12в.од.Л,35 =

Q,5(cos О, luj + 0,7 + j sin 0,luj)

~ cos 0,2a; - 1,2 cos 0,1 uj + 0,35 + j(sin 0,2 a; - 1,2 sin 0,1 uj)

Введя обозначения

= cos 0,1a; + О, 7, г»! = sin 0,1 о;, U2 = cos 0,2 a; - 1,2 cos 0,1 lj + 0,35, V2 = (sin 0,2 a; - 1,2 sin 0,1 a;), выпигпем отдельно вещественную и мнимую части:

0,5 {uiU2 + V1V2)

Rei;(ja;) =

ImH(ja;) =

ul + 0,5 {viU2 + U1V2)