lim [X{s){s - S2fe*] = lim e* = {2t - l)e

4(g + 1) „st

>-2

Поэтому x{t) = l-\-{2t- l)e-2

Изображения Лапласа, В табл. 2.1 приведены изображения Лапласа для часто используемых функций. Рассмотрим их вывод.

1) Дельта-функция ((5-функция). Дельта-функция S{t) является обобщенной функцией, и ее можно определить следующим образом: для любой непрерывной функции (p{t) и бесконечно малого положительного числа е выполняется равенство

со г

J 5{t)ip{t) dt = j5{t)ip{t) dt = (/9(0). (2.12)

- CO -s

Производные от (5-функции определяются следующим образом: j S {tMt)dt = {-ir\0), ш = 1,2,...,

- оо

где S (t) - ш-я производная по времени от (5-функции, (f{t) - обычная функция, обладающая ш-й производной.

Если представить преобразование Лапласа (2.8) в виде

X{s) = lim fx{t)e-4t,

to согласно определению дельта-функции (2.12) имеем

L{6it)} = lim 15{t)e-4t = e"" = 1.

Пример 2.1. Определить функцию x{t), изображение которой

имеет вид X{s) = --.

s(s + 1)

Решение. В данном случае

B{s) = 1, A{s) = s{s + 1), A{s) = 2s + 1.

Полюсами функции X{s) являются si = О, S2 = - 1, и они являются простыми. Поэтому согласно формуле (2.11) x{t) = 1 - .

Пример 2.2. Определить функцию x{t), изображение которой

. 4(s + l) имеет вид X{s) = / ,

s(s + 2)2

Решение. В данном случае

B{s) = 4(s + 1), A{s) = s{s + 2) A\s) = 3 + 8s + 4.

Полюсами функции X(s) являются si = О и S2 = -2. Первый полюс является простым, а второй - кратным кратности П2 = 2. Слагаемое, соответствующее простому полюсу, можно вычислить по формуле (2.11): B{si)/A{si) = (4/4)6° = 1.

Кратному полюсу согласно (2.10) соответствует слагаемое

Таблица 2.1. Изображения Лапласа

Оригинал x{t)

l{t-r)

sinct;

cosct;

Изображение X{s)

s -\- а

s -\- a

2) Единичная функция. Единичная функция l() определяется следующим образом (рис. 2.2, а):

i{t) =

при О, при < 0.

1() 1

l{t-T)

Рис. 2.2. Графики единичных функций: а - единичная функция; б- единичная функция с запаздывающим аргументом

со сю °°

То, что изображением функции x(t) = является X(s) = - докажем методом математической индукции.

При п = 1 эта формула принимает вид L{t} = -, и она верна.

Предположим, что она справедлива при п = к - 1: L{t~} =

и покажем, что она справедлива при п = к. Так как t

x{t)=t =kJT-dT, о

то согласно интегрированию оригинала (свойство 3° преобразования Лапласа)

Отсюда, учитывая принятую выгпе формулу для L{t~}, получаем искомое соотногпение

тикл к{к-1)\ к\

6) Изображение функции x{t) = е~ определяется непосредственно из формулы преобразования Лапласа

оо оо

L{e-} = Je-e- dt = J e+dt =

7) Изображение функции x{t) = te~ получается интегрированием по частям:

оо оо

L{te-} = fte-+4t =--- ftde- =

J s + aj (a + s)2

8) Формула для изображения функции x{t) =te~ доказывается методом математической индукции так же, как это было сделано при выводе формулы для изображения функции t.

Ее изображение согласно (2.8) имеет вид

X{s) = L{l{t)] = je-4t=-.

3) Единичная функция с запаздывающим аргументом. Согласно теореме запаздывания (свойство 4° преобразования Лапласа)

X{s) = L{l{t - т)} = е-L(l(i)} = е- 1.

4) Изображение X{s) функции x{t) = t определяется интегрированием по частям: