С = 10, D = 0. Следовательно,

S2(s2 + S + 1)

= io(4-i +

5 + 5 +

Преобразуем правую часть к табличному виду:

1 g + g а р 1 а-У

Подставив это выражение в предыдущее равенство, произведем .-преобразование:

г.. г 10

.S2(s2 + S + 1)

= io(z{l}-z{i}) +

После подстановки соответствующих изображений из табл. 6.2 и преобразований, получим

lOTz

{z-iy

lOze-"" [z cos ef3T - e" cos (1 - e)f3T] z -2ze-cospTe-

10;e-" [z sin ef3T - e" sin (1 - e)f3T] z - 2ze-T cos (ЗТ + e-

Положив г = 0, находим

Х*(,г) =

lOT;

1-(-1)

{z-iy

C0S/3T+ -e- sin/ЗТ

-2;e-«cos/3T + e-2«

Вычисление Zj,-изображения и Z-изображения от оригинала включающего множитель е~. Пусть оригинал имеет вид

Y{s) = е-

где X{s) - дробно-рациональная функция: X{s) = B{s)/A{s). В этом случае для Y{z) имеем:

а) при {к-1)Т <т кТ

Y*{z) = ZT{e-X{s)} = z-Zj.{X{s)} = zXze), (6.43)

где е = к-т/Т;

б) при т = кТ

Y{z) = ZT{e-X{s)} = z-Zt{X{s)} = zXz). (6.44)

Ип() = Иф()Ин() =

s(s + l) или

Ии() = (1-е-)Ио(),

, . B{s) 10

где Wo{s) = - = -Г--ГТ-

Дискретная передаточная функция

W:{z) = ZT{Wn{s)} = Zt{Wo{s)} - ZTie-Wois)}.

В данном случае г = 0,1 {0<т<Т),к = 1и г = 1 - = 1 - = 0,5. Поэтому (см. (6.43))

W:{z) = Wo*{z)-z-Wo*{z,e).

Формула (6.43) получается следующим образом. По определению оператора Zt его применение соответствует последовательному выполнению трех следующих операций: обратное преобразование Лапласа, квантование по времени с периодом Т и -преобразование.

Выполним сначала обратное преобразование Лапласа. Тогда по теореме запаздывания (свойство преобразования Лапласа) получим

L-{e-X{s)] =x{t-T).

Далее, выполним квантование по времени с периодом Т, т. е. сделаем подстановку t = IT. Полученную таким образом функцию х[1Т - т] представим в виде

х[1Т -т]= х[1Т -кТ + кТ-т]= х[{1 -к + е)Т], е = к-.

И, наконец, произведем -преобразование. При этом по теореме запаздывания (свойство -преобразования) получим

Z{x[{l -к + е)Т]} = -Х*(,г).

Это и есть т-изображение функции Y{s), что доказывает формулу (6.43).

Формула (6.44) получается как частный случай из (6.43) при г = 0.

Пример 6.7. АИМ-элемент вырабатывает прямоугольные импульсы длительности Ги = 0,1 с периодом Т = 0,2 и амплитудой (высотой) Ли = 1. Передаточная функция непрерывной части 1/Fh() = -

s + l*

Требуется определить дискретную передаточную функцию W*{z).

Р е HI е н и е. Пайдем сначала передаточную функцию приведенной непрерывной части. Так как передаточная функция формирующего звена .

Wф{s) = - = -,

передаточная функция ППЧ имеет вид

10(1-6-°)

Полюсами Wo{s) являются si = О и 2 = - 1, производная A{s) = = 2s + 1. В соответствии с (6.41) и (6.42)

Жо*(.) = Мо(.)} = -,

W{z,e) = Z-iWois)} = - е

Z i

Следовательно,

-0,1

- р-0,2 •

\z \z 10 o,i 10 10(e~Q -e~Q)

z-\ ;-e-02 z-\ ;-e-02 ~ ; - e-O

6.6. Цифровые системы управления

В связи с бурным развитием микроэлектроники и микропроцессоров цифровые вычислительные устройства находят все большее применение при разработке управляющих устройств. Поэтому в настоящее время цифровые системы управления широко распространены. Если цифровое устройство оперирует с числовым представлением со значительным количеством разрядов, то квантованием по уровню можно пренебречь. И системы управления с такими цифровыми устройствами можно рассматривать как АИМ-системы.

Цифровая система управления (ЦСУ) включает объект управления (ОУ), чувствительные элементы (ЧЭ), аналого-цифровой преоб-

Рис. 6.8. Функциональная схема ЦСУ

разователь (АЦП), цифровое вычислительное устройство (ЦВУ) и цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП) (рис. 6.8).

АЦП преобразует аналоговый сигнал в цифрой, а ЦАП - цифровой сигнал в аналоговый. ЦВУ выполняет все необходимые вычисления в соответствии с заданным алгоритмом управления.

Если пренебречь квантованием по уровню, цифровую систему управления можно представить в виде блок-схемы (рис. 6.9), состоящей

Рис. 6.9. Блок-схема ЦСУ

из прерывателя, дискретного фильтра (ДФ), фиксатора нулевого порядка (ФПП) и непрерывной части (ПЧ).