2.3. Преобразование Лапласа

При рассмотрении линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами удобно использовать преобразование Лапласа, так как оно решение дифференциальных уравнений сводит к алгебраическим операциям.

Преобразованием Лапласа называют соотношение

X{s) = Jx{t)e-4t, (2.8)

ставящее функции x{t) вещественного переменного в соответствие функцию X{s) комплексного переменного s {s = а -\- jcu ). При этом x{t) называют оригиналом, X{s) - изображением или изображением по Лапласу из - переменной преобразования Лапласа. Оригинал обозначают строчной, а его изображение - одноименной прописной буквой.

собственным оператором является Q{p), а операторами воздействия Ri{p) и R2{p)

Стандартная форма записи уравнения звена. При исследовании систем управления удобно, если уравнение звена, описываемого дифференциальными уравнениями не выше 2-го порядка, представлено в стандартной форме. При стандартной форме записи члены уравнения, содержащие выходную величину и ее производные, располагают в левой части, а все остальные члены - в правой; коэффициент при выходной переменной делают равным единице. В правой части члены, содержащие одну и ту же входную переменную и ее производные, объединяют в одну группу и коэффициент при соответствующей входной переменной выносят за скобки.

Уравнение (2.5) в стандартной форме принимает вид

ТоУ + Tiy + y = ki{T2U + u) + k2V

Ту + 2СТо + 2/ = 1 {T2U + и) + k2V, (2.7)

где = -, Ti = -, ki = 2 = -, k2 = С = = /-•

Здесь постоянные Tq, Ti и T2 имеют размерность времени, и их называют постоянными времени, коэффициенты ki и к2 - передаточными коэффициентами и безразмерный коэффициент ( (при О < < С < 1) - коэффициентом демпфирования. Если исходное уравнение (2.5) не содержит у {02 = 0), то в стандартной форме коэффициент при у должен быть равен единице: обе части уравнения делят на ai.

В символической форме уравнение (2.7) принимает вид

(ToV + 2СТ0Р + 1) = ki{T2P + 1)и + k2V.

(t) = I X{s)e4t, (2.9)

определяющее по известному изображению его оригинал, называют обратным преобразованием Лапласа. В нем интеграл берется вдоль любой прямой Re S = сг > с.

Условно прямое и обратное преобразования Лапласа записывают соответственно в виде

X{s)=L{x{t)], x{t)=L-{X{s)], где L - оператор Лапласа, а L~- - обратный оператор Лапласа. Основные свойства преобразования Лапласа. 1. Свойство линейности. Для любых постоянных а и /3

L{axi{t) + [5x2{t)] = aL{xi{t)}+PL{x2{t)},

т.е. преобразование Лапласа от суммы функций равно сумме преобразований слагаемых, и постоянные множители можно выносить за знак преобразования.

2. Дифференцирование оригинала. Если производная ж() является функцией-оригиналом, то

L{x{t)} = sX{s)-x{0), где X{s) = L{x{t)}, х{0) = \imx{t). Здесь запись +0 обозначает, что t стремится к нулю, оставаясь положительным (предел справа).

Если п-я производная x\t) является функцией-оригиналом, то Lfi\t)} = sXis) - s-x(O) - s-f(O) "... - x\o). Здесь x (0) = limx (t), к = 0,1,... ,n - 1.

При x{0) = x{0) = ... = X \o) = 0 последняя формула принимает вид (л

L{x{t)} = sX{s). Таким образом, при нулевых начальных условиях дифференцированию оригинала соответствует умножение изображения на s.

Предполагается, что функция x{t), подвергающаяся преобразованию Лапласа, обладает следующими свойствами:

1) функция x{t) определена и кусочно дифференцируема на интервале [О, оо);

2) x{t) = О при t < 0;

3) существуют такие положительные числа с и М, что \x{t)\ < < Ме при О < 00.

Функцию, обладающую указанными свойствами, называют функцией-оригиналом. Соотногпение

4. Теорема запаздывания. Для любого г > О

L{x{t - г)} = e-L{x{t)} = e-X{s).

5. Теорема о свертке {умножении изображений). Если xi{t) и X2{t) - оригиналы, а Xi{s) и X2{s) - их изображения, то

X,{s) . X2{s) = l Ix,{T)x2{t - r) drj = l I:r2(r):i;i( - r) drj.

Интеграл в правой части называют сверткой функций xi{t) и X2{t), его обозначают xi{t) * Ж2():

Xi{t)X2{t) = Jxi{T)x2{t - т) dr = Jx2{r)xi{t - т) dr.

Поэтому

6. Теоремы о предельных значениях. Если x{t) - оригинал, а - его изображение, то

х(0) = lim sX(s);

и если существует предел (оо) = lim x(t), то

х(оо) = lim

7. Теорема разложения. Если = является дробно-

рациональной функцией {A{s), B{s) - полиномы от s) и степень полинома числителя меньше полинома знаменателя, то ее оригиналом является функция

= Е Л-£Й (Ms)is - s,re% (2.10)

где - корни уравнения A{s) =0, nj - их кратности vi q - число различных корней. Если указанные корни простые, то

Здесь п - степень полинома A{s) и A{sk) =

as s=sk

Формулы (2.10) и (2.11) справедливы при t 0. При < О по определению функции-оригинала x{t) = 0.

3. Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на s: