= ЦаЖг - Ах + (А2 - + (Лз -

Оо I 1\ ао/ \ ао/ \ ао/

+ aoyt) + aif{t) + a2y{t) + аз?/)}. (5.59)

Пример 5.11. Пусть передаточная функция объекта имеет вид Ио() = -г-\-Ту: и задающее воздействие g{t) = А {А - коне-

SyS -\- OS -\-1)

танта). Определить алгоритм управления, при котором огпибка x(t) = = А - y{t) изменяется в соответствии с

x{t) = {Ci+C2t + C3t)e-.

Регпение. В данном случае Ai = Л2 = Лз = 2, Ai =6, А2 = 12 и Аз = 8, уравнение объекта имеет вид

у -\- Зу -\- 2у = и.

Поэтому ао = 1, ai = 3, а2 = 2, аз = О, 6о = 1 и из (5.59) получаем

U = Зж + 10ж + Sx.

Передаточная функция регулятора имеет вид

Vrp(p) = Зр + 10р + 8.

Физическая осуществимость. Алгоритм управления, определяемый методом обратной задачи динамики, как правило, не удовлетворяет условию физической осуществимости: относительная степень передаточной функции синтезированного регулятора отрицательна. Поэтому его точно осуществить (реализовать) не удается. Это связано с тем, что нельзя реализовать точный (идеальный) дифференциатор. Однако при регпении вопроса о реализуемости алгоритма управления его нужно рассматривать с учетом заданного объекта управления. Может оказаться, что требуемые производные можно определить путем измерения.

Поэтому в рассматриваемом случае

у = у- X = У-\- Aix + А2Х + Л3Ж, у = у-х, у = у-х, у = у-х.

Подставив эти выражения в (5.57), получим

и = \aoy{t) +ао(Л1Ж + Л2Ж + Лзж) +

+ f{f{t) - X, y\t) - X, y\t) - X, t)]. (5.58)

Линейный стационарный объект 3-го порядка

аоу -\-aijj-\-а2У-\-азу = bou, ао > О, &о 7 О,

является частным случаем нелинейного объекта (5.57), когда /(г/, у, у, t) = aiy + а2У + азу. Поэтому из (5.58) имеем

Например, пусть передаточная функция объекта имеет вид (р) = , передаточная функция регулятора Wp(р) = fen + кдр и задающее воздействие g{t) = y{t) = до {до - константа). В данном

р + 1

Рис. 5.3. Структурная схема (к вопросу о реализуемости)

случае производную можно измерить и алгоритм управления можно точно реализовать (рис. 5.3).

В случае линейных систем, имея желаемое дифференциальное уравнение, легко получить желаемую передаточную функцию. Поэтому, казалось бы, нет особой разницы между методом обратной задачи динамики (ОЗД) и методом желаемой передаточной функции (ЖПФ). Однако между этими двумя методами существует принципиальная разница, заключающаяся в следующем.

1) Алгоритм управления, полученный методом ОЗД, в общем случае нельзя точно реализовывать, в то время как вопрос реализуемости передаточной функции регулятора, которая находится методом ЖПФ, регпается в процессе ее получения.

2) Если на объект управления действуют контролируемые возмущения и они учтены в его уравнении, то при использовании метода ОЗД получается комбинированный закон управления, полностью компенсирующий действие указанных возмущений. Метод ЖПФ не позволяет синтезировать инвариантную от возмущений систему управления.

5.6. Синтез систем управления при наличии чистого запаздывания

Если объект управления содержит звено чистого запаздывания, то можно его передаточную функцию Wr{s) = е~ аппроксимировать дробно-рациональной функцией и при синтезе регулятора использовать рассмотренные выгпе методы.

Для аппроксимации воспользуемся разложением экспоненты е~ в ряд Тейлора:

е =

= 1 - rs + 1

Если ограничиться первыми тремя слагаемыми разложения, то получим

W-(s) = 1-Ts + = Th - 2CTs + 1, W+{s) =-

1+TS +

где T = +, С = • V2 л/2

JTsf + 2CTs + 1

(5.60a) (5.606)

Амплитудные и фазовые частотные функции имеют вид А-{ь:) = \W-{jaj)\ = \ лДТТ 1,

At{w) = \W+iJw)\ = - arctg

() = Vr () = S

-7Г - arctg

при о;

при LJ

2 -

Представив передаточную функцию звена чистого запаздывания в виде Wr{s) = е~ = е~* е*/, разложим числитель и знаменатель в ряд Тейлора. Тогда, ограничиваясь двумя и тремя членами разложения, получим соответственно

Wr{s) = l, (5.61а)

~ 2 + 8 rg - 2Crg + 1

(5.616)

Амплитудные частотные функции обеих передаточных функций совпадают с амплитудной частной функцией исходной передаточной функцией звена чистого запаздывания:

\W\juj)\ = \W\juj)\ = \Wr{juj)\ = 1. Фазовые частотные функции имеют вид

= argVr(i) = -2 arctg ,

-2 arctg

-27Г - 2 arctg

при о;

8 - (ra;)2

при UJ