У = У =

dt dt

Пусть при постоянных входных воздействиях и = vP и V = процесс в звене установится: выходная переменная со временем принимает постоянное значение у = у. Тогда производные обращаются в нуль и уравнение (2.1) принимает вид

= F{y, О, О, и, О, v) = 0. (2.2)

Уравнение (2.1), описывающее процессы в звене при произвольных входных воздействиях, называется уравнением динамики. Уравнение (2.2) описывает статический режим, т.е. процесс в звене при постоянных входных воздействиях, и называется уравнением статики.

В общем случае, когда звено описывается дифференциальным уравнением, значение его выходной величины в момент t зависит от предыстории, т.е. от значений входной переменной до момента t. В этом случае говорят, что звено обладает динамическим запаздыванием.

Если звено описывается функцией, т.е. значения его выходной переменной в любой момент времени зависят только от значений входной переменной в тот же самый момент времени, то уравнение статики совпадает с уравнением динамики.

Статический режим можно описать графически с помощью статических характеристик. Статической характеристикой звена (элемента) называют кривую зависимости выходной переменной от входной в статическом режиме. Статическую характеристику элемента можно построить экспериментально, подавая на вход элемента постоянные воздействия и измеряя значения выходной переменной после окончания переходного процесса или вычисляя с использованием уравнения статики.

2.2. Линеаризация. Формы записи дифференциальных уравнений

Больгпинство систем управления описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. По во многих случаях их можно линеаризовать, т.е. заменить исходные нелинейные уравнения линейными. Процесс преобразования нелинейных уравнений в линейные называют линеаризацией.

заданы с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений. Математическая модель системы управления может быть представлена в виде соединения звеньев. Звено - это математическая модель системы или любой ее части, определяемой некоторым оператором. В частном случае звено может быть математической моделью элемента. Для примера рассмотрим звено, которое задается уравнением

Р{у,у,у,щщу) = 0, (2.1)

где у - выходная переменная; и и v - входные переменные; точки над переменными обозначают дифференцирование по времени:

2.2. Линеаризация. Формы записи дифференциальных уравнений 23

Назначение систем управления - это поддержание некоторого заданного режима. Нри этом режиме входные и выходные переменные звеньев системы изменяются по определенному закону. В частности, в системах стабилизации они принимают определенные постоянные значения. Но из-за различных возмущающих факторов фактический режим отличается от требуемого, и текущие значения входных и выходных переменных не равны значениям, соответствующим заданному режиму. Обычно систему управления проектируют таким образом, чтобы реальный процесс мало отличался от требуемого режима, т.е. чтобы отклонения от заданного режима были малы. Это позволяет производить линеаризацию, разлагая нелинейные функции, входящие в уравнения, в ряд Тейлора в точке, соответствующей заданному режиму, и отбрасывая нелинейные относительно отклонений и их производных слагаемые. Проиллюстрируем сказанное на примере звена (2.1).

Пусть заданному режиму соответствуют значения

у = у, у = 0, у = 0, и = и, й = 0, v = v. (2.3)

Обозначим отклонения реальных значений у, и и v от требуемых через А, Аи и Av. Тогда получим у = у -\- Аи, у = А, у = Ау, и = и -\- Аи, и = Ай, v = -\- Av. Подставив эти выражения в исходное уравнение и рассматривая F{y, у, у, и, и, v) как функцию от независимых переменных у, у, у, и, и и v, разложим ее в ряд Тейлора в точке (2.3):

Здесь многоточие обозначает слагаемые, содержащие произведения приращений и их производных. Пренебрегая этими слагаемыми как бесконечно малыми величинами более высокого порядка, чем сами приращения и их производные, а также учитывая, что = О в силу (2.2), последнее уравнение можно представить в виде

аоАу + aiAy + а2Ау - ЪАй - biAu - cqAv = О, (2.4)

fdF\ fdF\ fdF\ , fdF\ ,

fdF\ fdF\

= -Ы = •

Уравнение (2.4) получено при следующих предположениях:

1) отклонения выходной величины А и входных величин Аи и Av достаточно малы;

2) функция F обладает непрерывными частными производными по всем аргументам в окрестности точки, соответствующей заданному режиму.

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то, строго говоря, линеаризацию проводить нельзя. По поводу условия 1) необ-

ходимо отметить следующее: нельзя раз и навсегда установить, какие отклонения считать малыми; это зависит от вида нелинейности.

Иногда нелинейную зависимость между отдельными переменными, входящими в уравнение звена, задают в виде графика (кривой). В этих случаях линеаризацию можно проводить графически. Геометрически линеаризация нелинейной зависимости между двумя переменными означает замену исходной кривой АВ отрезком касательной АВ в точке О (рис. 2.1), соответствующей заданному режиму, и па-Рис. 2.1. Линеаризация раллельный перенос начала системы

координат в эту точку.

Символическая форма записи дифференциальных уравнений. При описании систем управления удобно использовать символическую форму записи линейных дифференциальных уравнений. Рассмотрим ее на примере уравнения (2.4). Перепигпем его, опустив для сокращения записи знак А и оставив в левой части только члены, содержащие выходную переменную и ее производные:

аоу + aiy + а2У = Ьой + biu + cqv. (2.5)

Введем для операции дифференцирования по времени обозначе-

d i d

Здесь знак тождества обозначает равенство по определению.

Используя введенное обозначение, уравнения (2.5) можно записать в виде г>

«оР у + (iPy + (2У = Ьри + biu + cqv. (2.6а)

Рассматривая оператор дифференцирования р как сомножитель, а выражение ру как произведение, не обладающее свойством коммутативности [ру ф ур), уравнение (2.6а) можно записать в виде

(аор + aip + а2)у = {Ьор + bi)u + cqv. (2.66)

Введем обозначения Q{p) = аор + aip + а2, Ri (р) = Ьор + bi, R2{p) = cq. Используя эти обозначения, последнее уравнение можно записать в виде

Q{p)y = Ri{p)u + R2{p)v. (2.6в)

Следует иметь в виду, что уравнения (2.6а)-(2.6в) представляют другую, символическую (операторную) форму записи уравнения (2.5). Иного смысла они не имеют.

Дифференциальный оператор при выходной переменной называют собственным оператором, дифференциальный оператор при входной переменной - оператором воздействия. В последнем уравнении