следует, что J21 достигает экстремума при = i = 2. Чтобы

установить, чему (минимуму или максимуму) соответствует это значение, найдем вторую производную:

dkl кГ

В точке экстремума эта производная положительна. Следовательно, в ней достигается минимум, и соответственно регпением будет к = 2.

5.3. Условие граничной устойчивости и синтез систем управления по максимальной степени устойчивости

Задача синтеза систем управления максимальной степени устойчивости ставится следующим образом. Задана структура системы управления и требуется определить параметры регулятора, доставляющие максимум степени устойчивости.

Коэффициенты характеристического уравнения и соответственно степень устойчивости г] будут функциями от указанных параметров. Рассматриваемую задачу синтеза можно сформулировать как следующую задачу на экстремум: определить а [а - вектор параметров регулятора) из условия

ту* = 7у(а*) = тах7у(а).

Значение ту* называется оптимальной степенью устойчивости и а* - оптимальным [векторным) параметром.

Число параметров регулятора (размерность вектора а) т не должно превыгпать п - 1 (п - степень характеристического уравнения): ш п - 1. Если т п и с помощью параметров можно произвольно изменять п коэффициентов характеристического уравнения, то в этом случае корни характеристического уравнения и соответственно степень устойчивости можно сделать равными произвольно заданным числам.

Метод регпения сформулированной задачи основан на условиях граничной устойчивости. Поэтому прежде всего рассмотрим эти условия.

5.3.1. Условия граничной устойчивости. Напомним, что система находится на границе устойчивости, или имеет место граничная (маргинальная) устойчивость, если ее характеристический полином имеет нейтральные (т.е. расположенные на мнимой оси) нули и не имеет правых нулей. Такой полином называют маргинально устойчивым.

Следует заметить, что условие, которое получается при замене в критерии Гурвица знака строгого неравенства на нестрогий, не яв-

ляется условием граничной устойчивости. Действительно, например, полином

f{z) = z" + a2Z + а4,

а2 = - а"), а4 = [а" + , /3 > а > О,

удовлетворяет полученному таким путем условию: ао > О и все определители Гурвица данного полинома равны нулю. Тем не менее среди его нулей zi2 = -ol =Ь 2:3,4 = а± jP два нуля являются правыми. Рассмотрим полином с вещественными коэффициентами

f{z) = ао;"" + aiz""- + ... + а (ао > 0). (5.5)

Утверждение 5.1 (необходимое условие маргинальной устойчивости). Если полином (5.5) маргинально устойчив, то все его коэффициенты неотрицательны:

OiO, г = 1,2,...,п. (5.6)

Доказательство. Если полином (5.5) маргинально устойчив и имеет / нейтральных нулей, его можно представить в виде

f{z)=fl{z)fn-l{z),

где fi{z) - полином /-й степени, все нули которого расположены на мнимой оси, fn-i{z) - устойчивый полином (п - /)-й степени.

При разложении полинома fi{z) на элементарные множители нулевому корню соответствует множитель z, а мнимым корням jP и -jf3 - множитель {z - jf3){z + jf3) = z -\- f3. Поэтому его коэффициенты будут положительны или равны нулю. В силу необходимого условия устойчивости все коэффициенты полинома fn-i{z) положительны. Следовательно, коэффициенты полинома f{z) будут положительны или равны нулю.

Пуль z полинома (5.5) называют особым, если -z также является нулем этого полинома. В частности, все нули, расположенные на мнимой оси, являются особыми.

Полином (5.5) имеет / особых нулей в том и только том случае, когда / старгпих определителей Гурвица равны нулю, а (п - /)-й определитель отличен от нуля [5]:

An = An-i = ... = An-/+i = О, ln-i ф 0. (5.7)

При наличии S нейтральных нулей число правых нулей к определяется по формуле [5]

fc = fci + - , (5.8)

где / - число особых нулей, к\ - число неособых правых нулей, определяемое соотногпением

fei = V(\, Al, Аз,...) + (1, А2, А4,...). (5.9)

В (5.9) исключены / старгпих определителей, которые входят в условие (5.7); 1/(1, А, А,...) обозначает число перемен знаков в ряду l,Ai,Aj,... Число неособых правых нулей к\ равно нулю тогда

и только тогда, когда все определители, входящие в (5.9), положительны.

Если имеются особые нули, расположенные вне мнимой оси, то, как следует из их определения, среди них обязательно будет правый нуль.

Из изложенного выгпе вытекает следующее утверждение.

Утверждение 5.2. Полином (5.5) маргинально устойчив и I нулей располагаются на мнимой оси в том и только том случае, если выполняются следующие два условия.

1. / старших определителей Гурвица равны нулю, а остальные п - I определителей положительны:

Ап = Ап-1 = ... = А г+1, Ап-/>0, Ai>0. (5.10)

2. Полином (5.5) не имеет особых нулей, расположенных не на мнимой оси.

При использовании данного утверждения и установлении условия 2 важную роль играет следующее утверждение.

Утверждение 5.3. При выполнении необходимого условия (5.6) особый нуль не может быть вещественным числом, и если имеются особые нули, расположенные не на мнимой оси, то их количество равно числу, кратному 4.

Доказательство. Представим полином (5.5) в виде

f{z)=g{z-)+zh{z-),

g{z) = an + + + ...,

h{z) = On-i + an-z + + ...

Если вещественное число a [a ф 0) является особым нулем полинома fiz), то

f{a)=g{a)+ah{a)=Q, f{-a)=g{a)-ah(a)=0. Складывая и вычитая приведенные выражения, получим д{а)=0, h{a) = 0.

А эти равенства при выполнении условия (5.6) невозможны.

Пусть комплексное число z = а -\- jP {а[5 ф 0) является особым нулем полинома f{z). Тогда нулями будут число z" = -z и числа, комплексно-сопряженные z и z": z = а - ЦЗ и z" = -а -\- ЦЗ.

Таким образом, мы доказали, что при выполнении условия (5.6) вещественное число не может быть особым нулем и количество особых нулей, расположенных вне мнимой оси, равно числу, кратному 4.

Утверждение 5.4. Если выполняются необходимое условие маргинальной устойчивости (5.6) и условие (5.10) при 1 / 3, то полином (5.5) маргинально устойчив.

Это утверждение непосредственно вытекает из утверждений 5.2 и 5.3.