вости. Если необходимое условие устойчивости выполняется, то оказывается, что для определения устойчивости, нет необходимости вычислять все определители Гурвица.

Критерий Льенара-Шипара (Lienard, Chipard, 1914). При выполнении необходимого условия устойчивости (ао > О, ai > О, ... ..., > 0) для устойчивости системы управления необходимо и достаточно, чтобы все ее определители Гурвица с четными индексами или все ее определители Гурвица с нечетными индексами были положительными:

А2>0, А4>0, А4>0, ... (3.11а)

Аз>0, А5>0, А5>0, ... (3.116)

Для уменьшения вычислений целесообразно при нечетном п использовать условие (3.11а), а при четном п - условие (3.116).

Здесь приведена несколько упрощенная формулировка критерия Льенара-Шипара. При выполнении одного из условий (3.11а) или (3.116) не все неравенства в необходимом условии устойчивости оказываются независимыми. Поэтому часть неравенств можно опустить. По так как проверка необходимого условия устойчивости не связана с вычислением, на этом мы останавливаться не будем.

Выпишем необходимые и достаточные условия устойчивости для п = 1, 2, 3. Из критерия Льенара и Шипара получаем:

п = 1 : ао > О, ai > 0;

п = 2 : ао > О, ai > О, а2 > 0;

п = 3 : ао > О, ai > О, а2 > О, аз > О, А2 = aia2 - аоаз > 0.

Отсюда следует, что при п = 1 и п = 2 необходимое условие устойчивости является и достаточным. Однако уже при п = 3 для устойчивости, кроме выполнения необходимого условия устойчивости, нужно, чтобы была положительной разность между произведениями средних и крайних коэффициентов.

Пример 3.1. Передаточная функция разомкнутой системы к

W{p) = 3 Q 2 4 ~ 0,5; 2. Исследовать устойчивость ра-

зомкнутой и замкнутой систем.

Решение. Характеристический полином разомкнутой системы + 0,5 + 4Л + 1. Все коэффициенты больше нуля и определитель А2 = 0,5 • 4 - 1 • 1 = 1 > 0. Поэтому разомкнутая система устойчива.

Характеристический полином замкнутой системы

Q(A) = Л+0,5Л+4Л + 1 + А;.

Все коэффициенты этого полинома при обоих значениях к положительны, а определитель А2 при к = 0,5 равен

0,5-4-1-1,5 = 0,5 > О,

= 1 > 0.

Система устойчива.

3.2.4. Критерий Рауса. Для формулировки этого критерия составляется так называемая таблица Рауса. По числу перемен знаков элементов первого столбца этой таблицы определяется количество левых и правых корней рассматриваемого полинома.

а при к = 2

А2 =0,5-4-1.3 =-КО.

Следовательно, замкнутая система при к = 0,5 устойчива, а при к = 2 неустойчива.

Пример 3.2. Передаточная функция разомкнутой системы к

W{p) = "ттр-+Т)~ ~ 0,5; 2. Исследовать устойчивость разомкнутой и замкнутой систем.

Решение. Характеристический полином разомкнутой системы + + Л. Его коэффициенты ао = 1, ai = 1, а2 = 1 и аз = 0. Необходимое условие устойчивости не выполняется, и поэтому разомкнутая система неустойчива.

Характеристический полином замкнутой системы

Q{X) = X + X + X + k.

Все коэффициенты при обоих значениях к положительны, определитель А2 при к = 0,5 равен

А2 = 1 • 1 - 1 • 1,5 = 0,5 > О,

а при к = 2

А2 = Ы-1-2 = -1<0.

Следовательно, замкнутая система при к = 0,5 устойчива, а при к = 2 неустойчива.

Из рассмотренных примеров следует, что разомкнутая система может быть устойчивой, а замкнутая система неустойчивой, и наоборот. Кроме того, устойчивость замкнутых систем зависит от передаточного коэффициента разомкнутой системы.

Пример 3.3. Исследовать устойчивость системы, у которой характеристический полином имеет вид

Q(A) = 0,5 + ЗЛ + 2Л2 + 2Л + 1.

Регпение. В данном случае п = 4 - четное число. Поэтому целесообразно воспользоваться условием (3.116). Необходимое условие устойчивости выполняется: все коэффициенты ао = 0,5, ai = 3, а2 = = 2, аз = 2, а4 = 1 положительны. В соответствии с условием (3.116) достаточно вычислить определитель A3:

Таблица Рауса составляется следующим образом. В первой строке выписываются коэффициенты характеристического полинома с четными индексами, а во второй строке - коэффициенты с нечетными

Таблица 3.1. Таблица Рауса {гк = Ck-2,i/ck-i,i)

индексами в порядке их возрастания (табл. 3.1). Элементы последующих строк вычисляются по формуле

Cfe-2,1 Cfe-l,l

A; = 3,4,...; / = 1,2,...

Здесь Vk равен отногпению элементов предыдущих двух (т. е. {к - 2)-й vi {к - 1)-й) строк первого столбца. Элемент сы равен разности элементов предыдущих двух (т. е. {к - 2)-й vl {к - 1)-й) строк следующего, (/ + 1)-го столбца. При этом последний элемент (т. е. вычитаемое) умножается на Vk •

Критерий Рауса (Routh, 1877). Для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все элементы первого столбца таблицы Рауса при ао > О были положительны: Cki >0, к = 1,2,...,п + 1.

Таблица Рауса содержит п + 1 строку. Число столбцов по мере роста номера строки убывает. Элементы второго и последующих столбцов следует вычислять по мере надобности при вычислении элементов первого столбца. При этом вычисление можно прекратить, как только какой-либо элемент первого столбца принимает нулевое или отрицательное значение.

Пример 3.4. Исследовать устойчивость системы управления с характеристическим полиномом

Q(A) = + 2Л + ЗЛ + 4Л2 + 5Л + 6.

Р е П1 е н и е. Необходимое условие устойчивости выполняется. Для определения устойчивости воспользуемся критерием Рауса. Вычислим элементы таблицы Рауса:

Си = ао = 1, С21 = ai = 2,

С31 = С12--

С21 С21

С41 = С22--

Ci2 = а2 = 3, С22 = аз = 4,

С22 =3-1.4=1,

С32 = 4 - . 2 = 0.

Ci3 = а4 = 5, С23 = а5 = б,

Си 1

С32 = С13--С23 = 5 - - • б = 2,

С21 2