кривую (5.1)называют траекторией, а пространство £" - фазовым пространством (термин ведет свое происхождение из динамики).

Автономная система. Автономная система (FA) может быть также записана в форме

dxi dx2 dx„

не содержащей дифференциал dt независимой переменной. По существу это означает, что мы отказываемся от параметризации кривой (5.1). Действительно, если пойти далее и записать уравнения в виде

dxi X, dx2 Х2 dx„ i Хп-\

dXn Х„ dx„ Х„dxn Х„

то получится система, аналогичная (F), причем роль t играет х„. Решения этой системы удобно называть траекториями; как и прежде, через фиксированную точку „области существования" проходит одна и только одна траектория ). Переменная t является теперь только параметром, и если прибавить к ней постоянную [т. е. заменить в (5.1) величину t на t-\-C], то траектория не изменится.

Изучая устойчивость, нам придется постоянно рассматривать систему (F), удовлетворяющую дополнительному требованию: X {а, t)~0 для всех tO. Это означает, что х-а - решение. Геометрически указанное решение

изображается лучом в пространстве E.V или точкой X = а в пространстве Такая точка называется положением равновесия (особой или критической точкой). Если за новую переменную взять х - а и обозначить ее

) Пространство Е" в случае автономной системы также называется фазовым, а теорема единственности означает геометрически, что траектории системы (FA) не могут пересекаться друг с другом. В этом и состоит отличие автономных систем от неавтономных: траектории (но не решения !) системы (F) в фазовом пространстве могут пересекаться между собой. Подробнее теория автономных систем изложена в книге Л. С. П о н т р я-г и н а, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Физматгиз, 19&1. -Прим. перев.

снова через х, то система (F) не изменит своего вида, но теперь (0, ) = 0 при fO, т. е. положением равновесия будет уже начало координат. Как правило, в дальнейшем предполагается выполненным именно это последнее условие.

Часто встречается случай, когда функция X (х, t) вблизи значения x=Q может быть представлена в форме

Х(х, t)=Ax-\-q{x, t),

где А - постоянная матрица, а величина мала по сравнению с ЦхЦ при малых jcj. Иначе говоря, предполагается, что при всех fQ

MiO, если llxil-0.

Это выражается при помощи стандартного математического обозначения

(х, 011-0(11x11).

в рассматриваемом случае система (5.1) имеет вид

х = Лх + (х, t). (5.2)

Предположим, что все характеристические корни

Xj.....Хд матрицы А различны. Тогда существует такая

невырожденная матрица Р, что

РАР = Ахщ{\.....Х„).

Рассмотрим сначала случай, когда все характеристические корни действительны; это означает, что и матрица Р может быть выбрана действительной. Сделаем в системе (5.2) преобразование координат у - Рх. Так как

-(Рх) = Рх, то

у = Ях = ЯЛЯ y + P = diag(X,.....X„)y-+-qr,(y. i),

(5.3)

где q=Pq, и легко можно показать, что

Система (5.3) оказывается того же типа, что и (5.2), но уже с диагональной матрицей А. Если же некоторые из

) См., например, Понтрягин Л С, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Физматгиз, 1961; Коддингтон Э. А. и Л е в и н с о н Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, ИЛ, 1958; Лефшец С, Геометрическая теория дифференциальных уравнений, ИЛ, 1961. - Прим. перев.

характеристических корней комплексны, то положение будет точно таким же, за исключением того, что появятся такие комплексно сопряженные пары Xj, Xj, Xj, что для каждого цействительного вектора х соответствующие координаты вектора у=Рх будут комплексно сопряженными: yj, yj, У2 • • • •

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Так называются системы

-, = ап-1+а,2-2+• • •+а,„->„. г = 1.2.....п, (5.4)

где все коэффициенты aj - постоянные числа. В век-торно-матричных обозначениях система (5.4) записывается более компактно

х=Ах. A = (aij)., (5.5)

.Мы кратко напомним некоторые основные свойства этих систем. Доказательства их хорошо известны и содержатся в большинстве курсов по теории дифференциальных уравнений ).

I. Пусть .....>,„-характеристические корни матрицы А, т. е. корни уравнения

f(k) = \A-\E\ = 0;

каждый корень при этом считается столько раз, какова его кратность. Каждая компонента вектора решения системы (5.5) представляет собой сумму не более п членов

внаа gj(t)ej, где gj{t) - многочлен степени строго меньшей п.

П. Существует п линейно независимых решений. Линейно независимыми называются такие п векторов-решений xW, х"!, что соотношение

Cixl4+ . .. -f c„xl«lz=0