тогда уравнение (*) можно заменить эквивалентной системой

Х] = Х<1 --- Ху

Х„ 1 = Х„>

X„ = f{X. Х2.....Х„, t),

которая является частным случаем системы (**).

Например, хорошо известное уравнение Ван-дер-Поля

x-f-s(x2-1)х+х=0 эквивалентно системе

Х] =

: е(х2- 1)Х2 -Xj.

Рассматривая дифференциальные уравнения в форме (**), можно считать Xj.....х„ компонентами «-мерного вектора X, а Aj.....- компонентами «-мерного вектора Х\ тогда мы получим запись системы (**) в компактной векторной форме

х=Х{х, t). (F)

Эта система дифференциальных уравнений и будет изучаться в дальнейшем.

Может случиться, что вектор-функция X зависит только от X а пе зависит от времени. Уравнение (F) принимает тогда вид

х = Х (х). (FA)

Система такого рода называется автономной. Например, система, полученная из уравнения Ван-дер-Поля, является автономной.

Справедливости ради заметим, что в течение длительного времени математики не занимались фундаментальной проблемой о самом существовании решения у системы типа (F). Такие выдающиеся ученые, как Лагранж и

) Отметим только, что эта теорема, одновременно с существованием и единственностью, утверждает непрерывную зависимость решения от начальных условий. Эта непрерывность означает, грубо говоря, что малые возмущения начальных условий приводят (за конечный промежуток времени) лишь к малым возмущениям решений. - Прим. перев.

Лаплас, считали существование решений само собой разумеющимся. Даже сравнительно недавно астрономы полагали самоочевидным существование специальных решений с определенными свойствами периодичности. Лишь в начале прошлого столетия великий французский математик Коши впервые доказал соответствующую теорему, в которой обосновал существование решений для широкого класса систем дифференциальных уравнений.

Заметим, что эта проблема фактически является несколько неопределенной. Рассмотрение даже простейших систем с постоянными коэффициентами, например,

Xi - ax.-\-bx2,

Х2 = CXj--dX2,

показывает, что решение получается с некоторым числом произвольных постоянных. Можно в таком случае требовать, чтобы решение удовлетворяло тем или иным условиям в определенные моменты времени.

После Коши были получены многочисленные теоремы существования. Мы приведем без доказательства одну из таких теорем, которая представляет собой частный случай классического предложения, называемого теоремой Коши- Липшица. Эта теорема не является наиболее сильной из теорем существования, но она вполне достаточна для целей настоящей книги

Пусть Е"} означает (tt-f-1)-мерное пространство с координатами Xj, х„, t, и пусть Q - произвольная область в этом пространстве.

Теорема существования. Предположим, что в каждой точке области Q существуют и непрерывны

частные производные -g, i> J = .....«• Пусть

{х°, (q} - произвольная точка этой области. Тогда существует такое решение x{t) системы (F), что х(о) = хО. Это решение может быть продолжено всюду в области 2 и является непрерывной функцией от (х", t] как точки области 2

Рис. 4.

Рис. 5.

Геометрическая интерпретация. Решение x{t) определяет координаты x..... х как функции времени t, т. е.

Xi=fi(t), xfit).

Xn = fn(t). (5.1)

Это означает, что первые п координат в пространстве Ext являются функциями последней координаты t.

Например, при «=1 будет Xj =/j (0.. Если мы напишем х вместо и у вместо х, то придем к хорошо знакомой форме y = f{x) уравнения кривой в плоскости X, у. Аналогично этому естественно представлять себе набор функций (5.1) как кривую в пространстве Е"1 (рис. 4). Эта кривая называется интегральной кривой системы (F).

Можно, однако, рассматривать набор функций (5.1) как определение некоторой кривой 2) в пространстве £" одних только переменных х (рис. 5). В этом случае

) Последнее свойство - непрерывная зависимость решения от {х", о} - имеет место в любой компактной части области Q.- Прим. ред.

) Время t в этом случае считается просто параметром, т. е., иначе говоря, на равенства (5.1) можно смотреть как на параметрическое задание кривой. - Я/7«ж. перев.