SICrl

Рис. 3.

компактного множества - произвольное ограниченное открытое множество вместе со своей границей. В частности, сферическая область вместе со своей границей является компактным множеством; это множество иногда называют шаром.

Компактные множества имеют большое значение и обладают многими замечательными свойствами. Однако в дальнейшем нам потребуется лишь следующее предложение: если К - компактное множество и /(х) - непрерывная (скалярная) функция переменного х, определенная на множестве К, то всегда можно найти два числа а и такие, что а/(х)Р для любой точки X из множества К; более того, если /(х) принимает только положительные значения, то оба числа а м могут быть выбраны также положительными.

Приложение. Снова рассмотрим невырожденное преобразование координат

Х*п= Е Рткк- П1=\.....п.

плоскость в пространстве Е" представляют собой замкнутые множества.

Граница открытого множества. Границей BU открытого множества U называют совокупность таких не принадлежащих U точек С, что в любой сферической области 5 (С, г) имеются точки из U (рис. 3). Заметим, что ви - замкнутое множество.

Компактное множество. Компактным называют замкнутое ограниченное множество. Простейший примет

т = 1 т = 1

тогда

и2+и2+ ... +ul=l; (4.7)

i (i )t;„,«,)V = /?V(«).

m = l \ft = l /

Заметим теперь, что, в силу предположения о невырожденности преобразования, Р0, и, следовательно, система линейных уравнений

Е /mftfcO. 2.....П

ft = l

имеет только тривиальное решение Mj = «2 = • • • = "« = = 0. Эти равенства несовместны с равенством (4.7), а потому /(и) всюду на сфере (4.7) положительна ). Таким образом, существуют такие положительные постоянные аир, что на множестве (4.7) выполняется соотношение а</(и)<Р. т. е.

Полученные неравенства показывают, что обе величины R а R* становятся малыми одновременно. Иными словами, говоря нестрого, R я R* являются величинами одного и того же порядка. Это свойство будет полезно в дальнейшем.

Обозначения. Мы будем обозначать через S(г) сферическую область jx<r, а через Я(г) - ее границу, сферу х = г. Для замкнутой сферической кольцевой области /< х применяется обозначение Sf.

) Иначе говоря, / (м) = О лишь в начале координат пространства переменных и, а на сфере (4.7) имеем / (и) > 0. - Прим. перев.

Мы попробуем сравнить длины xi и х* одного и того же вектора в старых и новых координатах; на самом деле удобнее сравнивать квадраты этих длин:

mi т

т = \

Пусть x = Ru, так что

Глава П ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ б. Общие сведения

Как известно, дифференциальные уравнения в той или иной форме были введены еще Ньютоном. Его законы движения - это первые примеры систем дифференциальных уравнений, и динамика по сей день остается одним из главнейших источников подобных задач.

Так как устойчивость в нашем понимании является свойством некоторых систем дифференциальных уравнений, то нам представляется целесообразным коротко рассказать о таких системах. Мы будем рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения в действительной (вещественной) области. Иначе говоря, будут рассматриваться уравнения, в которые входят производные одной или нескольких неизвестных функций по действительной переменной t. Обычно переменную t понимают как время, но это не существенно.

Во всех приложениях встречаются обыкновенные дифференциальные уравнения двух типов. Первый тип - уравнение «-го порядка:

х(«) = /(х, X, .... хС-). О (*)

(jct*) означает k-ю производную от х по t), второй - система из п уравнений первого порядка:

Xi-X,{x,, 2.....х„, t).

Х2 - 2 (i- Х4.....t).

(**)

. Xn = niXv 2, .... Х„, t).

В действительности уравнение (*) может быть сведено к системе (**) следующим образом. Введем новые переменные 1.....х„ по формулам

Ху = х, х = х, х = х..... х„ = л:(->>;