невырожденная, симметрическая (D* = D*) и удовлетворяет равенству D* = Q*. Следовательно,

Q PQ*f" = 90*0*9 = ОО,

где 0 = 0*9.

Из этого результата немедленно следует, что если Q - положительно определенная матрица, то и обратная к ней матрица также является

положительно определенной. Действительно, положительно определенная матрица Q может быть представлена в виде Q = 00, где О-некоторая невырожденная матрица. Тогда - D"\D"), и тем самым показано, что матрица Q также положительна.

Замечание. Пусть A = (aij) является от X й-матрицей. Часто бывают полезны равенства

diagCi.....b)- A = (biaif),

А diag(Ci.....c„) = (aijCj).

В первом случае все элементы i-Pi строки умножаются на bi, а во втором случае все элементы у-го столбца умножаются на Cj. Конечно, если Ь- b = b, то все

элементы матрицы А умножаются на Ь; если = ... ... =с„~с, то все элементы умножаются на с.

§ 4. Немного геометрии

Матрицы являются в конечном итоге лишь алгебраическим аппаратом. Однако дифференциальные уравнения не могут быть изучены средствами одной чистой алгебры; для их изучения необходимо широко использовать и геометрию.

Само определение устойчивости и излагаемые ниже теоремы Ляпунова носят наглядный геометрический характер. Для правильного их понимания необходимы некоторые новые понятия. Мы относим эти понятия к „геометрическим"; почти все они принадлежат наиболее общему разделу геометрии, называемому топологией.

) Это неравенство выделяет те точки {х, у, г} пространства !., которые лежат строго внутри шара радиуса г с центром и точке {а, Ь, с}. - Прим. перев.

2) Уравнение гиперсферы (4.4) примет вид IU -ai =г.- Прим. перев.

Между прочим, вместо того, чтобы говорить „фигура" или „конфигурация", мы условимся употреблять в дальнейшем более привычный и простой математический термин точечное множество или просто множество, который означает произвольную совокупность точек.

Рассмотрим сначала довольно простой объект: евклидову плоскость £2 и на ней окружность радиуса г с центром в точке С==[а, Ь]\ уравнение этой окружности имеет вид

(x - af + {y - bf = r\ (4.1)

Точки М, отстоящие от С меньше, чем на г, составляют круговую область (внутренность круга) и удовлетворяют условию d{M, С) < г. Аналитически это неравенство записывается так:

(х-a)2 + (y~>)2<r2. (4.2)

В обычном трехмерном пространстве вместо окружности мы возьмем сферу; тогда вместо неравенства (4.2) получим).

{x - af-{y - bf + {z - cf<r. (4.3)

По аналогии в «-мерном пространстве множество точек, координаты которых удовлетворяют равенству

(x,-a,)-h(x2-«2)+ ••• +ix-ajr\ (4.4)

называется гиперсферой или (я - \)-мерной сферой. а сферическую область составляют такие точки х, что

(x, fl,)+(X2-fl2)+ •• -j-(X„-fl„)2<2. (4.5)

Если мы введем вектор х-а, то 2) неравенству (4.5) можно придать более короткую форму:

jx -all < г. (4.6)

Точку а пространства Е" называют центром сферической области, а г - ее радиусом; для обозначения сферической области используется символ S{a, г).

Рис. 2.

б) любые две точки С а D множества U можно соединить некоторой непрерывной кривой, целиком лежащей в и (рис. 2).

Теперь мы определим следующие основные типы точечных множеств в пространстве Е".

Открытое множество. Открытым называют такое точечное множество U, что ему вместе с любой его точкой С целиком принадлежит и сферическая область 5 (С, г) с центром в точке С некоторого радиуса г [иначе говоря, множество и обладает свойством а), но не обязательно обладает свойством б)]. Например, внутренность квадрата или какого-либо другого многоугольника на плоскости является открытым множеством) в пространстве Е.

Замкнутое множество. Замкнутым называют множество F, представляющее собой внешность некоторого открытого множества U. Например, прямая линия или

) В этих примерах открытое множество является одновременно и областью. Если два многоугольника на плоскости не имеют общих точек, то их внутренность является открытым множеством (но не областью!). - Прим. ред.

Множество, целиком содержащееся в некоторой сферической области, называется ограниченным.

Определим теперь понятие область п-мерного пространства. Так называют точечное множество U в пространстве Е", обладающее следующими двумя свойствами:

а) если точка С принадлежит множеству U, то ему целиком принадлежит и некоторая сферическая область 5 (С, г) с центром в точке С;