) в оригинале extremely s\ab\t. - Прим. перев.

относительно которой предполагается, что Х{х, t) = = Х{х, t-\-T) для всех га-мерных векторов х, всех fO и некоторого Г > 0. Мы предполагаем также, что для системы (FP) выполнены условия, обеспечивающие существование, единственность и непрерывную зависимость решений от начальных условий. Мы скажем, что система (FP) экстремально устойчива), еслч! для каждой пары решений x{t) и х2(0 системы (FP) справедливо предельное соотношение {t) - х2(0->0при /->оо. Ла-Салль, обобщая результат Треффтца для систем с одной степенью свободы, показал, что если система (FP) экстремально устойчива и если она имеет ограниченное решение, то эта система имеет периодическое решение периода Г. Это периодическое решение является единственным, и все остальные решения неограниченно приближаются к нему при t->co. Иначе говоря, в системе (FP) имеется стационарный режим.

Связь между сформулированным только что результатом и теорией Ляпунова состоит в том, что, как показал Йошизава, экстремальную устойчивость системы (FP) можно установить с помощью введения подходящих функций Ляпунова.

Мы приведем здесь более простой специальный случай теоремы Йошизава. Предположим прежде всего, что все решения системы (FP) предельно ограничены. Таким образом, существует такое замкнутое ограниченное множество й, что все решения этой системы в конце концов остаются внутри этого множества. Далее, для изучения поведения пары решений естественно ввести в рассмотрение две системы

х = Х{х, t), V = Х(у, t),

которые мы можем объединить в одну систему порядка 2га:

z = Ziz, t), (26.3)

считая z и Z{z, t) 2га-мерными векторами:

х\ fX{x,ty

у) (•) = (;.(у.о

Пусть 22 означает множество всех тех векторов

для которых обе „составляющие" х л у лежат в 2. Наконец, М - множество всех таких

у которых X лежит в 2. Например, множество М является диагональю изображенного на рис. 30 множества 22. Каж-

дое решение системы (26.3) остается в конце концов внутри 22, и мы можем ограничить наше исследование именно этим множеством. Докажем, что каждое решение системы (26.3) приближается к множеству М при t-co\ это и будет означать экстремальную устойчивость системы (FP).

Пусть V(z) - скалярная функция, имеющая внутри Q2 непрерывные частные производные первого порядка. Допустим сверх того, что в Q2

а) V(z) = 0 для z, принадлежащих М; 6)V(z)yO для z, не принадлежащих М; b)V{z)<0 для z, не принадлежащих М.

[Полная производная V берется в силу системы (26.3)]. Сформулированные ограничения на функцию V означают, что эта функция является по отношению к множеству М положительно определенной, а ее производная - отрицательно определенной. Точно так же, как и во второй теореме Ляпунова об устойчивости, отсюда следует, что каждое решение системы (26.3) приближается при t->oD к множеству М, а это в свою очередь равносильно утверждению об экстремальной устойчивости системы (FP).

Таким образом, допустив, что решения системы (FP) предельно ограничены, мы смогли доказать следующую теорему.

Теорема XIX. При сформулированных выше предположениях система (FP) имеет единственное периодическое решение периода Т и каждое другое ее решение неограниченно приближается при t->oo к этому стационарному режиму.