Xj, Xj, Xj, Х2.....Xjj, Xp, x2,+J,

где x2,,+i.....x„ - действительные числа. Преобразование этих точек может быть записано в виде)

y,=XiX,, y, = >:iXi.....уХрХр. у,=ХрХр,

y2p + l - hp + lX2p + l> •••> Уп - пп-

Матрицы и квадратичные формы. Пусть

F(x)= 2 <}цХ1Х; q,j = qji,

- квадратичная форма, и пусть Q = (q - матрица ее коэффициентов. Если х - вектор-столбец с элементами

Xj, х2.....х„, то мы можем записать квадратичную

форму и так:

F (х) = xQx.

Если совершить преобразование координат х = Ру, где Р-невырожденная матрица, то G (у) = F {Ру) = z= у (PQP) у, т. е. О (у)-квадратичная форма с матрицей коэффициентов PQP. Таким образом, преобразование координат х - Ру порождает преобразование матрицы квадратичной формы Q->Qi = PQP. Обратное преобразование у=:Р~х вызывает обратное преобразование матрицы Q,->Q=r(PO~Qi~-

) Более точно, это утверждение имеет следующий смысл. Если среди характеристических корней матрицы А имеются комплексные, то ее нельзя привести к диагональному виду действительным преобразованием координат: матрица Р перехода от старых координат х к новым координатам х" (н соответственно от у к у) оказывается комплексной. При этом точки, имевшие в старой системе . координат действительные координаты, получают в новой системе координат комплексные координаты, из которых первые 2р состоят из р пар комплексно сопряженных чисел, а остальные имеют действительные значения. В новых координатах исходное преобразование задается приведенными в тексте простыми формулами. - Прим перев.

Действительные точки при преобразовании координат с матрицей Р получают координаты

Напомним, что всегда существует действительное преобразование Р, которое приводит квадратичную форму F(х) к виду

G(y)dyl-dyl-+- ... +dyl, (3.3)

Если р есть число положительных, а q - число отрицательных коэффициентов d, то разность) р - q не зависит от способа приведения формы F(x) к виду (3.3), а сумма) p-\-q = m равна рангу матрицы Q.

Ортогональные преобразования представляют особый интерес. Они характеризуются тем, что их матрицы Р удовлетворяют условию РР = Е или Р - Р. Важнейшее свойство этих преобразований состоит в том, что они оставляют неизменной квадратичную форму с единичной матрицей коэффициентов. Действительно, ортогональное преобразование Р не меняет квадратичную форму

Н{х) = х\.х1+ ... -xl

поскольку ее матрица равна Е, а РЕР~Р~ЕР = Е, и потому

н(Ру) = у1-у1+ ... +у1

Ортогональные преобразования отличаются тем, что они не изменяют расстояний. В терминах динамики их можно представить себе как вращения (возможно, с отражениями) твердого тела относительно одной неподвижной точки.

Отметим без доказательства, что любая квадратичная форма может быть приведена некоторым ортогональным преобразованием к виду (3.3).

В случае плоскости при помощи ортогональных преобразований координат можно привести любую центральную кривую второго порядка (начало координат предполагается совпадающим с центром кривой) к каноническому виду

Лл:2-1-Ву2 = С

) Она называется сигнатурой квадратичной формы.- Прим. перев.

) Она называется рангом квадратичной формы.-/7/7мл. перев.

(х и у - обычные прямоугольные координаты). Это справедливо и в случае трехмерного пространства и вообще для пространства п измерений (хотя при й > 3 это уже не такой общеизвестный факт).

Положительно и отрицательно определенные квадратичные фор.иы. Квадратичную форму F (х) называют положительно (или отрицательно) определенной, если f(x)>0 [или f(x)<0] для всех векторов хфО. Этот факт часто кратко записывают с помощью матрицы Q квадратичной формы F(х), а именно Q>0 (или Q < 0) и говорят, что Q положительно (или отрицательно) определенная матрица. Из формул преобразования координат видно, что векторы х = 0 и у = 0 соответствуют друг другу. Поэтому если F (х) положительно (отрицательно) определенная форма, то форма О (у) будет также положительно (отрицательно) определенной и обратно. Таким образом, неравенства

Q > О и PQP > О

эквивалентны; конечно, утверждение остается справедливым, если в обоих неравенствах знак неравенства сменить на противоположный. Это показывает, что во многих вопросах, касающихся квадратичных форм, можно свободно применять преобразования координат.

Легко построить положительно определенные матрицы. Если D - невырожденная матрица, то DD > 0. Это нетрудно усмотреть, так как квадратичная форма xDDx = \\Dx\\ принимает лишь неотрицательные значения и обращающаяся в нуль только при Dx = 0, т.е., в силу невырожденности матрицы D, только при х = 0. Обратное утверждение также справедливо: если Q > О, ото всегда можно найти такую невырожденную матрицу D, что Q = DD. Действительно, мы знаем, что существует ортогональная матрица Р такая, что

PQP :=Q* = diag id,, d,.....d„).

Так как Q > О, то все числа d > 0. Построим матрицу D* = diag{Ydi.....Vn)- Очевидно, что эта матрица