) При оценке \F(x) - h(x)\ заменяется максимальным

значением 2Уз - , а 1 л: - величиной а =. - Ярмж. а а

ред.

) При этом можно сделать малым и отношение - : - = -у. - Прим. ред.

При (л:К а, поскольку h{x) = 2]x, будет

V. < -1/+ [ 2 8 + 4 У 3 4 ] IУI + 2 4-12=

= Т+У~-. 0 = 2/31+12.

Таким образом, - е < О, если л:а и \у\ b

> Cj-(-yqPc. При л: > а мы убеждаемся, что эта же оценка для справедлива, если

Следовательно, выбирая числа а, [л и р так, чтобы отно-шения - , , -~ а -J были малы ), мы получим неравенство -s<0 вне прямоугольника Q: \х\а, у> где а н b могут быть сколь угодно малыми. Заметим, что все эти отношения действительно возможно сделать малыми одновременно.

Пусть Vq - максимум функции V{x, у) в Qq. Ясно,

Тогда Qo целиком содержится в множестве Q, определенном условием V{x, y)VQ. Величина Vq может быть выбрана сколь угодно малой; иначе говоря, и множество Q может быть сделано сколь угодно малым. Вне множества Qo справедливо неравенство -s<0 и, следовательно, ни одно решение, начинающееся в Q, не может покидать Q и каждое решение в конце концов вхо-

) В оригинале bounded in the future. - перев.

дит в Q. Таким образом, для любого 8 мы можем выбрать а, [А и р так, чтобы практическая устойчивость была сколь угодно сильной.

§ 26. Вынужденные колебания; стационарные режимы

В реальных системах отыскание колебаний, которые могут быть как желательными, так и нежелательными (вредными), является важной практической проблемой. Наши средства связи собираются из цепей, порождающих устойчивые колебания. Наоборот, появление колебаний в системе регулирования или в экономической схеме может быть поводом для беспокойства. Проблемы нелинейных колебаний крайне заманчивы для математиков, они представляют собой то обширное поле деятельности в дифференциальных уравнениях, где мы наблюдаем сейчас значительный прогресс. Современная математика, в частности топология, дает нам новые методы исследования.

В настоящем параграфе мы хотим указать на довольно неожиданную связь между теорией колебаний и методом Ляпунова.

Прежде всего рассмотрим линейную систему

x = Ax-i-f{t), >0; (26.1)

здесь X-га-мерный вектор, А - постоянная матрица порядка п, а f (t) - непрерывная периодическая га-мерная вектор-функция периода Т. Для такой линейной системы имеется несколько относительно простых результатов. Известно, что если система (26.1) имеет ограниченное при tO решение), то эта же система имеет периодическое решение периода Т. Далее, если матрица А устойчива (т. е. все ее собственные значения имеют отрицательные действительные части), то система (26.1) имеет единственное периодическое решение, а все остальные решения приближаются к нему при неограниченном возрастании времени. Такое периодическое решение мы будем называть установившимися колебаниями, или стационарным режимом.

Наличие нелинейностей в системе дифференциальных уравнений приводит к серьезным трудностям. Рассмотрим, например, систему второго порядка

( х = Р(х, у, t),

> (26.2)

ly=Q(x. у, 0.

где Р и Q - периодические по функции периода Т. Мы предположим также, что для этой системы при всех л: и у выполнена теорема существования.

В 1950 г. И. Массера получил очень интересный результат. Он показал, что если все решения системы (26.2) неограниченно продолжаемы и если известно, что система имеет ограниченное решение, то эта система имеет периодическое решение периода Т. Этот результат позволяет использовать утверждения § 23 и 24 для изучения колебаний. Если, скажем, удастся показать методами этих параграфов, что система (26.2) устойчива по Лагранжу или обладает предельной ограниченностью (и, следовательно, устойчива по Лагранжу), то мы можем утверждать, что она имеет периодическое решение периода Т. В частности, если вернуться к примеру § 24, считая вынуждающую силу e(t) периодической, то из сказанного вытекает, что уравнение Льенара имеет по крайней мере одно периодическое решение, причем период этого решения совпадает с периодом функции еЦ).

К сожалению, этот результат неверен для нелинейных систем выше второго порядка; на этот счет Массера привел противоречащие примеры. В случае произвольного порядка системы, когда мы уже вынуждены отказаться от использования простых топологических свойств плоскости, основные результаты теории касаются случая квазилинейных систем). Имеется, однако, один общий результат, касающийся установившихся колебаний; как показал Йошизава, изучение стационарных режимов можно проводить методом Ляпунова.

Рассмотрим систему уравнений

x = Xix,t), >0. (FP)

) В оригинале weakly linear systems. - Прим. перев.