практическую устойчивость. Как и раньше, число 8 и множества Q и Qq заданы. Если начало координат практически устойчиво и если, сверх того, каждое решение x*{t) системы (F*) для каждого р из совокупности Р входит в конце концов в Q и остается в нем, то мы скажем, что система (F) обладает сильной практической устойчивостью. Предельная ограниченность решений системы (F*) для всех р из Р-необходимое условие сильной практической устойчивости системы (F).

С некоторым видоизменением методы, развитые в предыдущем параграфе для исследования предельной ограниченности, могут быть использованы для изучения сильной практической устойчивости. Доказательство, аналогичное приведенным в § 24, позволяет нам убедиться в справедливости следующей теоремы.

Теорема XVIII. Пусть V(х) - скалярная функция, имеющая непрерывные при всех х частные производные первого порядка, причем V(x)co при II л: II ->оо. Пусть V, означает производную этой функции в силу системы (F*). Если - s < О для всех х вне Qq, для всех р из Р и для всех fO и если V (х) jV (у) при любом выборе х из Qq и у вне Q, то система (F) обладает сильной практической устойчивостью.

Возьмем, в частности, в этой теореме в качестве Q множество, определенное неравенством V /. Тогда ни одно решение не может покинуть множество Q, и мы можем взять Qq = Q.

Пример. В качестве простого примера исследования практической устойчивости мы снова рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля

х+[х(а2д;2 1)х рл: = 0. (25.1)

где константы [л и р положительны. Заменой переменных X н t это уравнение можно было бы привести к нормальному виду уравнения Ван-дер-Поля (13.4).

Вблизи начала координат сопротивление отрицательно, и положение равновесия неустойчиво. Мы покажем, что соответствующим выбором параметров можно получить

F(X) = (-g--XJ,

i 2[Ал: при л:<;а, \2\i.asignx при л: > а. Производная этой функции в силу системы (25.2) равна 1/, = - [[А (а2х2 - 1) -f Л (X)] f +

+ {2р h (X) [F {X) - h {х)\ ] у -

- (x - p)lFix) - hix)]. (25.3)

В качестве Qq возьмем прямоугольник л:а, у<;*. Легко видеть, что для любого 8 мы можем, выбирая а и b достаточно большими, получить неравенство 1, - - s<0 вне Qo- Это показывает, что при ограниченных возмущениях р{х, х, t) система (25.2) предельно ограничена. Но мы хотели бы получить нечто большее.

Не будем стараться получить более точные оценки, хотя это и не трудно сделать. Мы хотим только показать, что для любого 8 можно, выбрав соответствующим образом [Л, а и р, сделать числа а п b сколь угодно малыми.

любой вид практической устойчивости, какой бы мы ни захотели. С другой стороны, если [л отрицательно, то положение равновесия асимптотически устойчиво, но, несмотря на это, с практической точки зрения положение равновесия может быть весьма неустойчивым. Все это справедливо при отсутствии возмущений (т. е. при 8 = 0). Как мы увидим, в результате действия возмущений устойчивость может стать еще менее удовлетворительной. Возмущенное уравнение имеет вид

х--[А(а2д;2-1)л:--рл; = р(л;, t),

где \р{х, X, t)\b для всех х, х, t. Ему эквивалентна система

х=\),

. . (25.2)

у = - (ах-1)у - х-р{х, X. t).

Определим функцию

V(x, у) = 1[у+F(x)-A(x)p + ly2 + px2.

/ аХ

) Это наибольшее значение достигается при Xi=------

Прим. ред.

2) Значение а определяется из равенства

X = (Л

\ / ах\ \

Отсюда а{а - Xj) = 9 (а - Xj). Сокращая на а - Xi, получаем квадратное уравнение

a + Xia + x1 - - = 0.

Подставляем л:, = - -- (см. предыдущее примечание) и а

21/"з

находим положительный корень й =-.-Прим. ред.

5) При оценке величины Р в формулу (25.3) вместо х подставляется величина а, при этом F{x) - h (х) = Х =23 - . В разности х - В величина х = а заменяется меньшей вели-чиной -. - Прим. ред.

В невозмущенном случае /7 = 0, а Qq - область, ограниченная предельным циклом. При Z-> оо все решения наматываются на этот цикл, как спирали. В примере 2, § 13, мы дали некоторую оценку предельному циклу.

Возвращаясь к изучению функции К, заметим, что F{a) - h{a)>Q при а >и F{a) - h{a) = 0 при

а = - , а > 0. Пусть X=:F{a) - h(a). Выбирая ау-,

но столь близко к , как это нам потребуется, мы бу-

дем иметь X > О, но сколь угодно малым. При l-fl -

наибольшее значение функции) \Р{х) - li{x)\ равно

Хо = 2у"3 -. Пусть ау- выбрано так, чтобы Х = \)2).

При Xq-O имеем а-> -. Тогда при л;>а, поскольку h{x) = 0, получим 3)

n<-8t.y2 + 25y-2l/3(-8]<