) Подробнее эти вопросы рассматриваю гея в книге: Карачаров К. А. и Пилютик А. Г., Введе,1ие в техническую теорию устойчивости движения, Физматгиз, 1963. - Прим. перев.

к этому важному вопросуВ то же самое время станет ясно, почему некоторые исследования по устойчивости не могут быть оценены как очень серьезные. К этой категории принадлежат исследования, в которых принимается во внимание только линейное приближение.

Мы уже отмечали в § 13, что устойчивость и даже асимптотическая устойчивость сами по себе не обеспечивают практической устойчивости. Необходимо знать величину области асимптотической устойчивости и, кроме того, рассмотреть условия, в которых система должна работать, требования, которые к ней предъявляются, и т. п. Только после этого можно судить, будет ли рассматриваемая система достаточно устойчива для того, чтобы выполнять свои функции, и можно ли улучшить ее устойчивость.

Согласившись, что асимптотическая устойчивость сама по себе недостаточна для практической устойчивости, мы могли бы склониться к мысли, что она, однако, всегда представляет собой необходимое условие. Это утверждение также неверно. Положение равновесия системы может быть математически неустойчиво и тем не менее система может совершать колебания в достаточной близости от этого положения равновесия, так что ее режим является вполне приемлемым. Многие авиационные и ракетные устройства ведут себя именно таким образом. (Ниже мы приведем пример системы с неустойчивым положением равновесия, которая практически устойчива.)

Имея в виду все эти идеи, перейдем к формулировке определения практической устойчивости. Как и раньше, основной нашей системой является

х = Х{х, t). >0. (F)

Положение равновесия расположено в начале координат Л" (О, 0 = 0 при всех tQ. Возмущенная система

х=Х{х, t)-\-pix, t), f>0. (F*)

Мы выберем число 8 и два множества Q и Qq. Именно, Q-замкнутое ограниченное множество, содержа-

щее начало координат, а Qq - подмножество множества Q )• Пусть x*(t, о) - решение возмущенной системы (F*), удовлетворяющее условию x*(tQ, л;», tf,) = x°. Пусть, далее, Р - совокупность всех возмущений р, удовлетворяющих условию \\р(х, t)\\ <8 для всех tO и всех х.

Если для каждого возмущения р из Р, каждой точки Xq из Qo и каждого момента времени tO решение х*(t, х, to) остается в множестве Q при всех /О), то говорят, что начало координат обладает практической устойчивостью. Таким образом, решения, которые начинаются из точек множества Qg, все время остаются в множестве Q (рис. 29).

Понятие практической устойчивости включает в себя число 8 и два множества Q и Qo- Множество Q является множеством допустимых состояний нашей системы. Если решение х* {t) системы (F*) в момент t находится

внутри Q, то система в этот момент работает удовлетворительно. Подмножество Qo является совокупностью начальных положений.

Прежде чем говорить о практической устойчивости, мы должны решить:

1) как близко от положения равновесия должна работать наша система, иначе говоря, что такое множество Q;

2) какой силы будут ожидаемые возмущения, иначе говоря, какова величина числа 8;

3) какие начальные условия могут иметь место, иначе говоря, что представляет собой множество Qq.

После того, как все эти вопросы решены, можно говорить о практической устойчивости.

Практическая устойчивость не является ни более слабым, ни более сильным понятием по сравнению с обычной

Рис. 29.

) Также имеющее начало координат своей внутренней точкой.- Прим. перев.

2) И, следовательно, неограниченно продолжаемо. - Прим. перев.

устбойчивостью. Положение равновесия может быть устойчивым в обычном смысле и не быть в то же самое время практически устойчивым и, наоборот, может быть практически устойчивым, не обладая одновременно устойчивостью по Ляпунову.

Практическая устойчивость означает равномерную ограниченность решений относительно множества Qq начальных значений и совокупности Р возмущающих воздействий. Однако для практической устойчивости требуется не только, чтобы существовала ограничивающая постоянная для решений, но и чтобы эта постоянная была достаточно мала; решения, начинающиеся в множестве Qq, все время остаются в Q. В § 14, где мы обсуждали устойчивость по отношению к постоянным возмущениям, было показано, что если начало координат асимптотически устойчиво, то по заданному множеству Q найдется такое подмножество QqCZ.Q и такое 8 > О, что относительно них положение равновесия практически устойчиво. В этой формулировке утверждается лишь существование множества Qq и числа 8 > О, но не содержится никаких сведений о их величине, так что это может и не приводить к практической устойчивости.

Лемма 1, § 24 дает нам некоторый метод для обнаружения практической устойчивости; при этом множество М соответствует множеству Qq- соответствует Q. Производная V, подсчитываемая в силу возмущенной системы (F*), должна быть неположительна вне Qq для всех возмущений р из Р.

Полезно иметь в виду, что иногда практическую устойчивость желательно обеспечить только в течение конечного времени Т. Определение практической устойчивости в этом случае модифицируется требованием, чтобы решение x*(t, х, to) оставалось в множестве Q при о to-\-T. Таким образом, если VjIq в QnVl вне Q, то выполнение неравенства

в Q означает, что любое решение, начинающееся в Qq, будет оставаться в Q в течение времени Т.

По аналогии с полной устойчивостью (асимптотической устойчивостью в целом) мы можем определить сильную