ние x(t) входит в множество М, то, по лемме 1, оно все время после этого останется в некотором множестве М.. Следовательно, все решения ограничены и потому все они неограниченно продолжаемы.

Доказанная теорема обладает тем недостатком, что требует большого количества условий. Существует несколько простых и удобных для приложений случаев, когда теорема может быть упрощена. Простейшая формулировка теоремы получается, если функция V не зависит от t. Хотя V (х) и не зависит от времени явно, производная V(x), вычисляемая в силу неавтономной системы (F), уже зависит явно и от t. При этом неравенства для V предполагаются выполненными при всех fO.

Теорема XVII. Пусть V {х)~ скалярная функция, которая при всех х имеет непрерывные частные производные первого порядка, причем V(х)~>оо при \\х\\->

-»-оо. Если V(x)j-Е<0 для всех х из дополнения М" некоторого замкнутого ограниченного множества М, то система (F) предельно ограничена.

Доказательство. Нам достаточно убедиться, что в рассматриваемом случае выполнены все условия теоремы XVI (включая также условия лемм 1 и 2). Так как функция V не зависит от времени, то ее стремление к бесконечности при \\х\\ ->-оо можно считать равномерным по t. Ясно, кроме того, что функция V(x) ограничена снизу при всех X. Поэтому мы можем, прибавив, если нужно, константу, считать, что функция V(х) неотрицательна при всех X. Множество М замкнуто и ограничено; поэтому непрерывная функция V (х) ограничена на этом множестве. Следовательно, существует такое достаточно большое число г, что V(x,)<V(x2) для всех Xj из Ж и всех Х2 из уИ. Тем самым показано, что все условия теоремы XVI выполнены, т. е. система (F) предельно ограничена.

Пример. Мы приведем теперь пример, иллюстрирующий применение этой теоремы о предельной ограниченности.

Рассмотрим уравнение Льенара (см. пример 6, § 23): x-+fix)x-i-g(x) = eity t>0. (24.1)

Допустим, что функции f (X) и g{x) имеют непрерывные производные, а функция e(t) непрерывна. Определим функции F(x), G{x), E{t) по формулам (23.1) и вместо уравнения (24.1) будем изучать эквивалентную ему систему

х = у-F(x) + £(0. 1 y=~g(.x).

Предположим далее, что

а) xg{x)Q при достаточно больших х;

б) функция £(0 ограничена;

в) g{x)F{х)-сю при \х\-(х>.

Пусть

1/ = 1[у-/г(х)р+0(х);

функцию /г(х) мы определим позже. Можно непосредственно подсчитать, что

V=.-hix)\y-F(х) + Е(t)] [y-h(X)] -

- g(x)[F(x) - h(x) - Eit)]. (24.2)

В качестве ограниченного замкнутого множества М выберем прямоугольник I X к; fl, уК! * и определим функцию h(x) так:

- с при X < - а,

h(x) =

- X при -а<.х<.а, с при X > а.

где с > О столь велико, что выполняется неравенство If (О К с при всех f >0

Функция /г(х), очевидно, непрерывна, но ее производная имеет разрывы при х = - а и x = fl, что, как легко видеть, несущественно.

Поскольку h(x) = 0 при х > а, то при этих значениях X [см. равенство (24.2)] и всех >.0

V = -gix)lF{x) - h(x) - E(t)],

откуда легко заключаем, что при этих значениях х и t

и при. достаточно большом а всегда V - е < 0. С другой стороны, исходя из формулы (24.2) и определения функции h (х), мы видим, что, при достаточно

большом Ь, то же неравенство V- s<0 имеет место для I XI а, I у I > н всех tO. Поэтому V - г < О везде в М".

Наконец, V{x)-oo при »-оо и, согласно тео-

реме XVII, уравнение (24.1) обладает предельной ограниченностью.

В некотором смысле более общими условиями, гарантирующими предельную ограниченность уравнения Льенара с внешним вынуждающим воздействием, являются следующие:

а) [(ОКЯо при всех >0;

б) sign д: • g(x)>a > О при х>а;

в) sign д: • /= (х) > pQ > £ц при х > а.

Отметим, что доказательство проводится аналогично. В частности, разобранный пример показывает, что решения x(t) и x(t) уравнения Ван-дер-Поля

х + г(х2 -1)х-4-х = е(0, £>0

обладают предельной ограниченностью, если Je(t)rfi

ограничен при fO.

§ 25. Практическая устойчивость

В настоящем параграфе мы намерены изложить несколько идей, касающихся практической устойчивости, в надежде, что их обсуждение здесь привлечет внимание