§ 24. Предельная ограниченность

Продолжая расширение метода Ляпунова по пути, проложенному Йошизавой, мы займемся сейчас обобщениями иного характера. Самым существенным здесь будет исследование устойчивости множества М, где М -

, замкнутое, а в остальном

- \ совершенно произвольное

/ уг"" V \ множество точек га-мер-

I / \ t- НОГО пространства.

I I д/ обозначим через

\ V j Ж, гдег-некоторое по-

\ / 1 ложительное число, мно-

- ,У жество всех таких точек

- пространства, расстояние

Рис. 28. от каждой из которых

до множества 2) М строго меньше г (рис. 28). Таким образом, точка х принадлежит множеству только в том случае, если найдется в множестве М такая точка у, что \\х - у < г. Как и ранее,

означает множество всех тех точек пространства, которые не принадлежат множеству М/, иначе говоря, - дополнение множества Ж. Например, если Ж - шар x<;/?, то множество Ж - сферическая область л:<

</?-f-r, а дополнение Ж - множество /?--г.

) Предполагается, что функция G {х) удовлетворяет условию (23.6). - Прим. ред.

2) Напомним, что расстоянием от точки х до множества М называется величина inf d {х, у), где нижняя грань берется по всем точкам у множества М. Если М замкнуто, то нижняя грань всегда достигается. - Прим. перев.

вне области (прямоугольника), определенной условиями х<а, у<. Точно также нетрудно видеть, что Vj Vg -> равномерно по fO при л; р -f- j у оо >). Но тогда функция VVj-f-Vj удовлетворяет всем предположениям теоремы XV, т. е. уравнение (23.10) устойчиво по Лагранжу.

Прежде всего мы приведем две совершенно элементарные леммы. Как и ранее, речь пойдет о неавтономной системе

х = Х(х, t), f>0 (F)

Лемма 1. Пусть V(x, t) - скалярная функция, частные производные первого порядка которой непрерывны при всех х и всех tO, а М - замкнутое множество в п-мерном пространстве. Допустим, что V{x, 0<0 для всех X из М" и всех tO и что V(x,, ti)<iV(x2. 0) для всех OiOm при любом выборе ЛГ] в множестве М, а Х2 в множестве при некотором г. Тогда любое решение системы (F), находяш,ееся в некоторый момент tO в множестве М, никогда уже не сможет покинуть множество М.

Доказательство. Пусть x{t) - решение системы (F), которое в момент tO находится в множестве М. Допустим, что в какой-то более поздний момент Т точка х{Т) уже принадлежит Ж. Рассмотрим множество таких моментов ti, 0 < 1 < Т, что решение х{t) целиком проходит в множестве М" при всех < *с Т\ пусть i - наименьшее число, обладающее этим свойством. Но тогда точка х{х) принадлежит множеству М и поэтому V{x{i),x) <CV{х{Т), Т). Однако это невозможно, так как "сст" - невозрастающая функция при т Г.

Эта лемма не исключает той возможности, что решение, начавшееся в множестве М, имеет конечное время определения. Если же М-ограниченное замкнутое множество, то указанная возможность исключается и каждое решение x{t), начавшееся в Ж в некоторый момент tO, остается все время в М. Однако множество также ограничено, а потому все решения, которые в какой-либо момент времени tO находятся в Ж, равномерно ограничены. Иными словами, существует такое число й > О, что для всех решений x{t) с принадлежащей Ж начальной точкой х{1, IqO выполнено неравенство x(0 < при всех t tQ.

Лемма 2. Если, кроме предположений леммы 1, выполнены неравенства V{х, t):0 и V{х, t) < -е < О для всех tO и всех х из , то каждое неограни-

ченно продолжаемое решение системы (F) в конце концов остается внутри М. Иначе говоря, если x(t)-неограниченно продолжаемое решение системы (F), то существует такой момент Т, что x(t) лежит в при всех tT.

Доказательство. Поскольку VO и V-s. < О, ясно, что каждое неограниченно продолжаемое решение должно в конце концов войти в М. Но тогда, согласно лемме 1, оно должно все время оставаться внутри М.

Мы будем говорить, что система (F) предельно ограничена если найдется число > О и для каждого решения х (t) число Г > О, такое, что неравенство IIX (О II < справедливо для всех tT).

Теоремы XVI и XVII получаются как следствие приведенных выше двух лемм и позволяют судить о предельной ограниченности системы (F).

Теорема XVI. Если, кроме всех предположений леммы 2, потребовать еще, чтобы множество М было ограничено, а V{x, t)->oonpu х->-оо равномерно по t О, то система (F) предельно ограничена.

Доказательство. Так как множество М ограничено, то множество также ограничено для каждого г > 0. Поэтому, согласно лемме 2, нам достаточно доказать, что приведенные в условии теоремы дополнительные предположения гарантируют неограниченную продолжаемость всех решений системы (F).

Как мы уже отмечали выше, если М - ограниченное множество, то все решения, начинающиеся в М, равномерно ограничены и, следовательно, неограниченно продолжаемы. Пусть начальная точка лежит в множестве М". В силу наложенного на функцию V(x, условия при х ->-оо, можно выбрать число R столь большим, что V (х, t):>V(x (о), to) при всех > и всех х из М%. Если x(t) все время остается вне М, то функция V(x(t), t) убывает и x{t) не может выйти из Мц). Если же реше-

1) В оригинале ultimately bounded. -/7/7ил. перев.

2) Число Ь не зависит от выбора решений.--/7/7ил. ред.

3) Поскольку функция V{x(t), t), убывает, то Vix{t),t) < К(х(о). to). - tfpuM. ред.