При тех же предположениях относительно функции V(x), появляющейся вместо Vi.x, t), т. е. если k--f-oo, когда ---оо, й 1 < о для всех х из множества Q", система (FA) устойчива по Лагранжу.

Более общий случай, когда G =:k{t)L(v), а неравенство (23.1) не имеет положительных неограниченных при tO решений, был уже рассмотрен выше [см. утверждение б),стр. 133].

Пример 4. Мы покажем сейчас, что уравнение второго порядка

х-\- pit)x~\-[a+qit)]x = 0, a = constO, p(i)0

устойчиво по Лагранжу, если J \q(t)\dt < оо. Функции

p(t) и q{t) предполагаются непрерывными при всех t~0. Перепишем данное уравнение в виде системы

х= у,

y = - p(t)y - [a + q(t)] X.

и возьмем функцию V = у-{- ах. Легко подсчитать), что

V = -2p{t)y-2qit) xy2\q(t)\\xy\

Следовательно, положив fe(0 = -Lj-- и L{v) = v, мы

придем к дифференциальному неравенству (23.2), удовлетворяющему утверждению б); теорема XV гарантирует нам в этом случае устойчивость по Лагранжу.

Пример 5. Рассмотрим уравнение(23.5), изучавшееся уже в примере 2. Без всяких дополнительных предполо-

) Здесь используется неравенство

ху<~(х-аУ) (х>0, у >0, а>0),

вывод которого очевиден.- Ярйл. перев.

) См. примечание ) на стр. 136.- Прим. перев.

жений о функциях /(х, х, t) и g{x), но при более сильном ограничении на внешнее воздействие e{t), можно доказать устойчивость по Лагранжу.

Возьмем в качестве V ту же функцию, что и в примере 2; тогда при) х+У мы получаем

1/</2е(/)/К.

Следовательно, если

\e{t)\dt <оо, (23.10)

то неравенство г> )/2 е (О I l не имеет положительных не ограниченных при fQ решений, а потому имеет место устойчивость по Лагранжу. Приведенный результат есть небольшое обобщение теоремы Антосевича.

Условие(23.10) накладывает определенные ограничения на вынуждающую силу e{t): она должна достаточно быстро убывать при tco. Это условие, естественно, не выполняется для периодической внешней силы, и это вполне объяснимо, поскольку сопротивление предполагается только неотрицательным. Например, уравнение x--x = cos/ имеет неограниченные решения, и мы видим, что для ослабления ограничений на вынуждающее воздействие е (О необходимо сделать дальнейшие предположения о характере сопротивления. Эту мысль наглядно иллюстрирует следующий пример.

Пример 6. Рассмотрим уравнение Льенара

х + /(х)х + §-(х)=е(0 (23.11)

и предположим, что функции /(х) и g{x) имеют непрерывные при всех X производные, а e{t) - непрерывная при всех fO. Определим функции

X X t

F(x) f f(u)du; G(x)= f g(u)du; Е{1) = f e()dz.

(23.12)

V2y + G(x).

Без труда получаем, что V, = -[F(x)-E (i)] g (X); = - / (X) у2 + ye (t).

Используя сделанные предположения, мы видим, что при достаточно больших х )

V < fii 1/0

Поэтому при \х\а, где а-достаточно большое число, и при всех у имеем У";-!-1/2 0. Предположим далее, что функции «2(0 и If (01 остаются ограниченными для неотрицательных t. Следовательно, мы можем записать, что 2--Х(у), где2) к(у)-~>оо при у->со. Поэтому при x<fl! и у>й ф-достаточно большое число) Vj--l/2<0. Мы показали, что хЧ-гО

) Оценка для V2 справедлива при всех х, поскольку не-

е (t)

равенство - / (х) + уе (t) < приводится очевидным

образом к виду [2f (х) у-~ е (t)]:0. - Прим. перев.

2) Если I X (О I < /С при > О, то можно положить к (у) =: = (;у2 - I у\. - Прим. ред.

Допустим, далее, что /(х)с>0 при всех х и 4f(x)[F(x)-E(t)]g(x)eHt)

при всех tO и всех достаточно больших х . Мы покажем, что при этих предположениях уравнение (23.11) устойчиво по Лагранжу.

Действительно, приведем это уравнение к системе

х=у,

y = - g(x) - f(x)ye(t) и определим функции

У,[у-\-Р(х)-Е (0)2 + G (X),