) Здесь используется неотрицательность функции / вне Q и очевидное неравенство е (О у < I g (О • I У 1- Однако для получения оценки у = >/2К (х, y) - 2G(x)Y2-Yv необходимо еще одно предположение, а именно G (х)>0. В силу условия (23.6), это будет так, но, вообще говоря, лишь для достаточно больших I х \. Поэтому в качестве Й следует взять внутренность круга х2 -j- у2 < R, где Rr выбран так, что С? (jc) > О при I X I > Легко видеть, что тогда функция V (х, у) (в рассматриваемом примере она не зависит от времени t) будет положительной в области Если же на функцию g (х) наложить уже много раз встречавшееся в гл. И условие xg{x) > О при хфО, то все рассуждения авторов будут справедливы буквально. - Прим. перев.

в качестве множества Q, о котором упоминается в теореме XIII, возьмем внутренность круга х2--у2<г2. Тогда вне этого круга)

v = -fix,y,t)y+e{t)y\e{t)\\y\y2\e{t)\yv.

Таким образом, К<й(0/.(К) при >0 и х2+у2;г2; здесь ft (О =1/2 \ e{t)\, а L{v)=y" • Но неравенство vk{t)L{v) в этом случае не имеет ни одного положительного решения с конечным временем определения, а поэтому каждое решение уравнения (23.5) неограниченно продолжаемо.

Пример 3. Наличие конечного времени определения у решений не является чем-то необыкновенным.

Рассмотрим уже упоминавшееся уравнение Ван-дер-Поля

x-B{x--\)x+x = f{t),

где е < 0; внешнее воздействие f {t) непрерывно и ограничено при всех tO. Здесь сопротивление отрицательно

при I л: I > 1. Вводя новое переменное у = х - е I х---1,

мы придем к эквивалентной системе

х = у + в(х-],

> (23.7)

у =-х-/(0.

Возьмем в качестве множества Q следующую область: /<:!>«> О, у<0, х-(-у;>0 (рис. 27). На том участке

границы области 2, который имеет уравнение x-j-y = 0, производная в силу системы (23.7)

1-3 \

4-/(0 =

= £(х -) -2х +/(0>0 (23.8)

-(х + у) = у-Ьв(х--

/ / /

Рис. 27.

при достаточно большом а ). На участке у = О границы области 2 имеем (djdt) у = - x-f-/(O<0 при достаточно большом а. Внутри рассматриваемой области

Х = у + е(х - >у-\-х> О (23.9)

при достаточно большом а). Таким образом, при доста-

) В самом деле, по предположению, / (О I < const при О < < со, и потому при больших JC > О доминирующим членом является - £ х/3, который положителен в силу £ < 0. Неравенство (23.8) означает, что вдоль любой траектории сумма х + у может только возрастать. Но тогда траектория, начинающаяся в точке {х°, у°} области 2, не может выйти из й через нижнюю границу, поскольку х"у>0. -Прим. перев.

2) В самом деле, при больших jc > О выражение £ {х - jc/3) стремится к 4-со как х, т. е. может быть сделано больше х. Неравенство (23.9) показывает, что внутри области й вдоль любого решения координата х может только возрастать, так что решение, исходящее в момент ta из точки {х°, у"}, принадлежащей Q, уже не может пересечь участка границы л: = а. - Прим. перев.

Внутри области Q имеем х\у\, и поэтому при достаточно большом а и достаточно малом с

К > > cV.

Как мы уже отмечали ранее, неравенство v cv" не имеет положительных неограниченно продолжаемых решений. Тем самым выполнены (при достаточно большом а) условия теоремы XIV, т. е. все решения, начинающиеся внутри области Q, имеют конечное время определения.

Мы считали параметр е отрицательным, тогда как обычно в уравнении Ван-дер-Поля этот параметр считается положительным. Если же е > О, то на основании только что полученного результата мы заключаем, что любое решение, начинающееся внутри области Й, не может быть определено при всех /0, т. е. имеет конечное отрицательное время определения).

Переходя теперь к устойчивости по Лагранжу, мы можем, аналогично теореме XIII, доказать следующий результат.

Теорема XV. Пусть 9. uV имеют тот же смысл, что и в теореме XIII, и К->--оо при \\х\\->-со равномерно по tO. Пусть снова VG(V, /). Если неравенство (23.1) не имеет ни одного положительного неограниченного при всех tO решения, то система (F) устойчива в смысле Лагранжа.

При 0 = 0 мы получаем для автономной системы

х = Х{х) (FA)

аналогичный результат.

) В оригинале negative finite escape time. - Прим. перев.

точно большом а любое решение уравнения Ван-дер-Поля, начавшееся в момент О внутри области й, все время остается в этой области.

Определим теперь функцию 1/= i (х--у2); ее производная