Действительно, пусть существует такое положительное решение v{t), tQt<CT; тогда

v(t) i

V (to) ta

Правая часть этого равенства ограничена при t-T,B то время как левая неограниченно возрастает, что, очевидно, невозможно.

Аналогично доказывается следующее утверждение.

со со

б) Если J= --оо, а Jk(J:)dt -{-со, то неравенство (23.2) не имеет ни одного положительного неограниченного при tO решения.

Таким образом, неравенство v k{t)v, где й - произвольная непрерывная при всех функция, принадлежит типу I, а неравенство Vjcv - типу II. Конечно, простейшим неравенством вида (23.2) является v0.

Мы получим теперь условия, при которых решения системы (F) имеют конечное время определения. Для этого используем неравенство

г)>0(г/, t), >0, (23.3)

которое не имеет неограниченно продолжаемых положительных решений. Взяв G{v, t) = k{t)L{v), где k{t) и L{v) обладают теми же свойствами, что и в (23.2), мы легко убедимся в справедливости следующего утверждения.

со со

в) Если J "Х < -Ьоо, а k{t)dt = -{-со, то неравенство (23.3) не имеет на одного неограниченно продолжаемого положительного решения.

Например, неравенство vcv", с > О, а > 1 не имеет неограниченно продолжаемых положительных решений.

Следующий результат о существовании конечного времени определения решения можно рассматривать как теорему о неустойчивости.

) См., например, Понтрягин Л. С, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Физматгиз, 1961, § 21. -Прим. перев.

Теорема XIV. Пусть множество Q обладает тем свойством, что каждое решение x{t), начинающееся в этом множестве, все время остается в нем. Пусть, далее, функция V{x, t) положительна при всех X из Q и всех tO. Предположим, наконец, что V~G(V, t) для всех fO и всех х из Q. Если неравенство (23.3) не имеет ни одного неограниченно продолжаемого положительного решения, то каждое решение x(t) системы (F), удовлетворяющее условию x(tQ)=xfi, где - точка множества Q имеет конечное время определения.

В самом деле, допустим, что решение x{t) с таким начальным условием не имеет конечного времени определения. Тогда функция v{t) = V{x{t), t), удовлетворяющая неравенству (23.3), положительна и неограниченно продолжаема, что противоречит предположению теоремы.

Линейные системы являются наиболее известным примером, в котором все решения неограниченно продолжаемы. Именно, если

x = A(t)x + f(t), >0,

где A{t) - квадратная матрица порядка п, а f {t) - «-мерный вектор, причем A{t) и f {t) непрерывны при tO, то ) все решения этой системы определены при О < оо.

Пример 1. В качестве иллюстрации к теореме XIII мы обобщим этот результат следующим образом.

Предположим, что существует такое число /? > О и такая скалярная функция k{t), непрерывная при всех tQ, что правая часть уравнения (F) удовлетворяет неравенству

;(х, OIKWIIII (23.4)

при всех :>0 и всех Определим функцию

V {х)=\\х\\~ X • X. Тогда, используя известное неравенство Шварца

аЬ<\\а\[ \\Ь\\,

) То есть функция g {х) имеет непрерывную производную, а f(x,x, t) - непрерывные частные производные первого порядка по всем трем аргументам. -Прим. перев.

2) О механическом истолковании членов уравнения второго порядка типа (23.5) см. Андронов А. А., Витт А. А., X а й к и н С. Э., Теория колебаний, Физматгиз, 1959. - Прим. перев.

мы получаем при всех ЦлгЦ;/? и всех tO

Vix) = 2хХ (t, X) < 2k (Oil лг]Р = 2k (О V (X).

Поскольку неравенство v2k(t)v не имеет ни одного положительного решения с конечным временем определения, мы можем на основании теоремы XIII заключить, что при сделанном предположении все решения системы (F) определены для всех tO, т. е. неограниченно продолжаемы.

Пример 2. Если правая часть нелинейной системы (F) не удовлетворяет неравенству типа (23.4), то достаточные условия неограниченной продолжаемости всех решений формулируются уже более сложно.

Рассмотрим уравнение второго порядка

x-i-f(x.x,t)x + gix) = e(t). (23.5)

Предполагаем, что функции f ш g гладкие), а функция e{t) непрерывна при всех tO. Кроме того, пусть /(ЛГ, X, 0>0 при всех >0 и дг2--х2>Л а

G(x) = j g(u)du--\-3<D при лгсо, (23.6)

т. е. достаточно далеко от начала координат сопротивление неотрицательно, а для достаточно больших \х \ функция g(x) похожа на характеристику упругой пружины 2). Уравнению (23.5) эквивалентна система

х = у,

[ y=-g(x) - fix, у. t)y + e{t). Определим теперь функцию

V{x, у)=У + 0{х);