Глава IV РАЗВИТИЕ МЕТОДА ЛЯПУНОВА

§ 23. Конечное время определения; устойчивость по Лагранжу

Японский математик Окамура использовал метод, близкий к теории Ляпунова, для изучения продолжаемости решений. Вслед за ним Йошизава довольно подробно исследовал возможности применения методов Ляпунова для получения сведений об ограниченности решений. Дальнейшее изложение целиком опирается на эти их работы.

Теоремы Ляпунова дают возможность судить об устойчивости по знаку производной V, где функция V - положительно определенная. Иначе говоря, изучается неравенство + К-0. Ла-Салль предложил рассматривать более сложное неравенство ±vG(v, t), что позволяет получать много интересных выводов, касающихся следующих трех возможностей.

Рассмотрим систему

х = Х{х, t), >0. (F)

Пусть x{t) - ее решение с начальным условием x{tQ) = xf>. Ясно, что:

а) либо это решение может быть продолжено для всех значений ttQ, и тогда мы будем говорить, что решение x{t) неограниченно продолжаемо);

б) либо существует такое Г > q, что дг(0] ->оо при tT, и тогда мы будем говорить, что решение лг(О имеет конечное время определения").

Эти две возможности явно несовместимы и дополняют друг друга Третий случай

) В оригинале defined in tlie future. -Прим. перев. В оригинале finite escape time. -Прим. перев.

) То есть всегда имеет место один и только один из двух случаев а) и б). См., например, Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, Физматгиз, 1961, § 24, - Прим. перев.

) Не следует путать в дальнейшем неограниченное решение и неограниченно продолжаемое решение. -Прим. перев.

в) решение x{t) ограничено - совместим с возможностью а), но, конечно, несовместим с б).

Ограниченность всех решений представляет собой своего рода устойчивость; в этом случае говорят об устойчивости в смысле Лагранжа или, короче, об устойчивости по Лагранжу.

Как и раньше (см. § 8), везде в дальнейшем V(x, t) означает скалярную функцию, которая положительно определена и имеет в некоторой области непрерывные частные производные первого порядка. В этой области

Рассмотрим сначала самое общее дифференциальное неравенство

vO{v, t), >0. (23.1)

где G - скалярная функция своих аргументов, а v - скалярная функция t. Мы интересуемся только положительными функциями V, удовлетворяющими неравенству (23.1). Существуют два типа таких неравенств:

I. Неравенства, не имеющие ни одного положительного решения с конечным временем определения;

II. Неравенства, не имеющие ни одного положительного неограниченного) решения.

Второй из этих типов включает в себя первый. Однако неравенство типа I может иметь решения, которые стремятся по модулю к -f-oo при ->--оо, тогда как для неравенств типа II такие решения недопустимы.

Если 2 - произвольное множество, то через 2" будем обозначать дополнение этого множества; иными словами, 2 - множество всех тех точек, которые не принадлежат 2.

Теорема XIII. Предположим, что 2 - ограниченное множество пространства Е", содержащее начало координат, и что функция V{x, t) определена- во всем множестве Q" и при всех tO.

) Момент 1 может быть выбран столь близким к Т, чтобы при всех t, для которых < <Т, выполнялось неравенство V{x, t)>0. - Прим. ред.

") Зашсь j f(x) dx =-\-оо означает, что несобственный интеграл от некоторого нижнего предела до бесконечности рас-

ходится, а j f(x)dx<co - что этот интеграл сходится (в обычном смысле математического анализа). - Прим. перев.

Допустим далее, что V{x, 0->+оо при \\х<\-ж равномерно на каждом конечном интервале изменения времени 0at<b. Наконец, предположим,

что VG(V, t) во всем множестве 2 и для всех tO. Если неравенство (23.1) не имеет на одного положительного решения с конечным временем определения, то каждое решение x{t) системы (F) неограниченно продолжаемо.

Это утверждение почти очевидно. Если бы решение x(t) имело конечное время определения О < Г, то в некоторой момент времени t,<iT оно попало бы в множество 2 и затем оставалось бы в нем). Но в таком случае при tt, функция v{t)=:V{x{t),t) была бы положительным решением неравенства (23.1) с конечным временем определения, что противоречит предположению теоремы.

Для применения результатов такого рода обычно удобно выбирать О {V, t) = k (t) L (v), где k (t) - непрерывная функция при всех tO, а функция L (v) - положительна и непрерывна при всех положительных значениях аргумента. Неравенство (23.1) в этом случае принимает вид

Г<й(0. (23.2)

а) Есла) j ц. =-f-oo, то неравенство (23.2)

не имеет на одного положительного решения с конечным временем определения.